Løs (3+2y)^2+2y^2=3

$$( 3 + 2 y ) ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } = 3$$

Løs for y

$$y=-1$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(3+2y\right)^{2}.

$$9+12y+4y^{2}+2y^{2}=3$$

Kombiner 4y^{2} og 2y^{2} for å få 6y^{2}.

$$9+12y+6y^{2}=3$$

Trekk fra 3 fra begge sider.

$$9+12y+6y^{2}-3=0$$

Trekk fra 3 fra 9 for å få 6.

$$6+12y+6y^{2}=0$$

Del begge sidene på 6.

$$1+2y+y^{2}=0$$

Skriv polynomet på standardform ved å plassere leddene i rekkefølge fra høyeste til laveste potens.

$$y^{2}+2y+1=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som y^{2}+ay+by+1. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=2 ab=1\times 1=1$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Det eneste paret er system løsningen.

$$a=1 b=1$$

Skriv om y^{2}+2y+1 som \left(y^{2}+y\right)+\left(y+1\right).

$$\left(y^{2}+y\right)+\left(y+1\right)$$

Faktorer ut y i y^{2}+y.

$$y\left(y+1\right)+y+1$$

Faktorer ut det felles leddet y+1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(y+1\right)\left(y+1\right)$$

Skriv på nytt som et binomialt kvadrat.

$$\left(y+1\right)^{2}$$

Hvis du vil finne formelløsningen, kan du løse y+1=0.

$$y=-1$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(3+2y\right)^{2}.

$$9+12y+4y^{2}+2y^{2}=3$$

Kombiner 4y^{2} og 2y^{2} for å få 6y^{2}.

$$9+12y+6y^{2}=3$$

Trekk fra 3 fra begge sider.

$$9+12y+6y^{2}-3=0$$

Trekk fra 3 fra 9 for å få 6.

$$6+12y+6y^{2}=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$6y^{2}+12y+6=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 6 for a, 12 for b og 6 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 6\times 6}}{2\times 6}$$

Kvadrer 12.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 6\times 6}}{2\times 6}$$

Multipliser -4 ganger 6.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-24\times 6}}{2\times 6}$$

Multipliser -24 ganger 6.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-144}}{2\times 6}$$

Legg sammen 144 og -144.

$$y=\frac{-12±\sqrt{0}}{2\times 6}$$

Ta kvadratroten av 0.

$$y=-\frac{12}{2\times 6}$$

Multipliser 2 ganger 6.

$$y=-\frac{12}{12}$$

Del -12 på 12.

$$y=-1$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(3+2y\right)^{2}.

$$9+12y+4y^{2}+2y^{2}=3$$

Kombiner 4y^{2} og 2y^{2} for å få 6y^{2}.

$$9+12y+6y^{2}=3$$

Trekk fra 9 fra begge sider.

$$12y+6y^{2}=3-9$$

Trekk fra 9 fra 3 for å få -6.

$$12y+6y^{2}=-6$$

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$6y^{2}+12y=-6$$

Del begge sidene på 6.

$$\frac{6y^{2}+12y}{6}=-\frac{6}{6}$$

Hvis du deler på 6, gjør du om gangingen med 6.

$$y^{2}+\frac{12}{6}y=-\frac{6}{6}$$

Del 12 på 6.

$$y^{2}+2y=-\frac{6}{6}$$

Del -6 på 6.

$$y^{2}+2y=-1$$

Del 2, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få 1. Deretter legger du til kvadrat firkanten av 1 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$y^{2}+2y+1^{2}=-1+1^{2}$$

Kvadrer 1.

$$y^{2}+2y+1=-1+1$$

Legg sammen -1 og 1.

$$y^{2}+2y+1=0$$

Faktoriser y^{2}+2y+1. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+1\right)^{2}=0$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(y+1\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Forenkle.

$$y+1=0 y+1=0$$

Trekk fra 1 fra begge sider av ligningen.

$$y=-1 y=-1$$

Ligningen er nå løst. Løsninger er de samme.

$$y=-1$$