Løs (23-x)^2+x^2=17^2

$$( 23 - x ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 17 ^ { 2 }$$

Løs for x

$$x=8$$

$$x=15$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Kombiner x^{2} og x^{2} for å få 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Regn ut 17 opphøyd i 2 og få 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Trekk fra 289 fra begge sider.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Trekk fra 289 fra 529 for å få 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Del begge sidene på 2.

$$120-23x+x^{2}=0$$

Skriv polynomet på standardform ved å plassere leddene i rekkefølge fra høyeste til laveste potens.

$$x^{2}-23x+120=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som x^{2}+ax+bx+120. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-23 ab=1\times 120=120$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Løsningen er paret som gir Summer -23.

$$a=-15 b=-8$$

Skriv om x^{2}-23x+120 som \left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right).

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right)$$

Faktor ut x i den første og -8 i den andre gruppen.

$$x\left(x-15\right)-8\left(x-15\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-15 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-15\right)\left(x-8\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-15=0 og x-8=0.

$$x=15 x=8$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Kombiner x^{2} og x^{2} for å få 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Regn ut 17 opphøyd i 2 og få 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Trekk fra 289 fra begge sider.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Trekk fra 289 fra 529 for å få 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$2x^{2}-46x+240=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, -46 for b og 240 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{\left(-46\right)^{2}-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Kvadrer -46.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Multipliser -4 ganger 2.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-8\times 240}}{2\times 2}$$

Multipliser -8 ganger 240.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-1920}}{2\times 2}$$

Legg sammen 2116 og -1920.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

Ta kvadratroten av 196.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±14}{2\times 2}$$

Det motsatte av -46 er 46.

$$x=\frac{46±14}{2\times 2}$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$x=\frac{46±14}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{46±14}{4} når ± er pluss. Legg sammen 46 og 14.

$$x=\frac{60}{4}$$

Del 60 på 4.

$$x=15$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{46±14}{4} når ± er minus. Trekk fra 14 fra 46.

$$x=\frac{32}{4}$$

Del 32 på 4.

$$x=8$$

Ligningen er nå løst.

$$x=15 x=8$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Kombiner x^{2} og x^{2} for å få 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Regn ut 17 opphøyd i 2 og få 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Trekk fra 529 fra begge sider.

$$-46x+2x^{2}=289-529$$

Trekk fra 529 fra 289 for å få -240.

$$-46x+2x^{2}=-240$$

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-46x=-240$$

Del begge sidene på 2.

$$\frac{2x^{2}-46x}{2}=-\frac{240}{2}$$

Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{46}{2}\right)x=-\frac{240}{2}$$

Del -46 på 2.

$$x^{2}-23x=-\frac{240}{2}$$

Del -240 på 2.

$$x^{2}-23x=-120$$

Del -23, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{23}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{23}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-120+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{23}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-120+\frac{529}{4}$$

Legg sammen -120 og \frac{529}{4}.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=\frac{49}{4}$$

Faktoriser x^{2}-23x+\frac{529}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{23}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{23}{2}=-\frac{7}{2}$$

Legg til \frac{23}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=15 x=8$$