Løs (2x-3)^2-(x+5)^2=-23

$$( 2 x - 3 ) ^ { 2 } - ( x + 5 ) ^ { 2 } = - 23$$

Løs for x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$x=7$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Du finner den motsatte av x^{2}+10x+25 ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Kombiner 4x^{2} og -x^{2} for å få 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Kombiner -12x og -10x for å få -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Trekk fra 25 fra 9 for å få -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Legg til 23 på begge sider.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Legg sammen -16 og 23 for å få 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 3x^{2}+ax+bx+7. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-22 ab=3\times 7=21$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 21.

$$-1,-21 -3,-7$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

Løsningen er paret som gir Summer -22.

$$a=-21 b=-1$$

Skriv om 3x^{2}-22x+7 som \left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right).

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right)$$

Faktor ut 3x i den første og -1 i den andre gruppen.

$$3x\left(x-7\right)-\left(x-7\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-7 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-7\right)\left(3x-1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-7=0 og 3x-1=0.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Du finner den motsatte av x^{2}+10x+25 ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Kombiner 4x^{2} og -x^{2} for å få 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Kombiner -12x og -10x for å få -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Trekk fra 25 fra 9 for å få -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Legg til 23 på begge sider.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Legg sammen -16 og 23 for å få 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, -22 for b og 7 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Kvadrer -22.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-12\times 7}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger 7.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-84}}{2\times 3}$$

Legg sammen 484 og -84.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 400.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±20}{2\times 3}$$

Det motsatte av -22 er 22.

$$x=\frac{22±20}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{22±20}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{22±20}{6} når ± er pluss. Legg sammen 22 og 20.

$$x=\frac{42}{6}$$

Del 42 på 6.

$$x=7$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{22±20}{6} når ± er minus. Trekk fra 20 fra 22.

$$x=\frac{2}{6}$$

Forkort brøken \frac{2}{6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Du finner den motsatte av x^{2}+10x+25 ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Kombiner 4x^{2} og -x^{2} for å få 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Kombiner -12x og -10x for å få -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Trekk fra 25 fra 9 for å få -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Legg til 16 på begge sider.

$$3x^{2}-22x=-23+16$$

Legg sammen -23 og 16 for å få -7.

$$3x^{2}-22x=-7$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}-22x}{3}=-\frac{7}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Del -\frac{22}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{11}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{11}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{11}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{121}{9}$$

Legg sammen -\frac{7}{3} og \frac{121}{9} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=\frac{100}{9}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{11}{3}=\frac{10}{3} x-\frac{11}{3}=-\frac{10}{3}$$

Legg til \frac{11}{3} på begge sider av ligningen.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$