Løs (2x-3)^2=8(2x-3)+65

$$( 2 x - 3 ) ^ { 2 } = 8 ( 2 x - 3 ) + 65$$

Løs for x

$$x=-1$$

$$x=8$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9=8\left(2x-3\right)+65$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 8 med 2x-3.

$$4x^{2}-12x+9=16x-24+65$$

Legg sammen -24 og 65 for å få 41.

$$4x^{2}-12x+9=16x+41$$

Trekk fra 16x fra begge sider.

$$4x^{2}-12x+9-16x=41$$

Kombiner -12x og -16x for å få -28x.

$$4x^{2}-28x+9=41$$

Trekk fra 41 fra begge sider.

$$4x^{2}-28x+9-41=0$$

Trekk fra 41 fra 9 for å få -32.

$$4x^{2}-28x-32=0$$

Del begge sidene på 4.

$$x^{2}-7x-8=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som x^{2}+ax+bx-8. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-7 ab=1\left(-8\right)=-8$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -8.

$$1,-8 2,-4$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-8=-7 2-4=-2$$

Løsningen er paret som gir Summer -7.

$$a=-8 b=1$$

Skriv om x^{2}-7x-8 som \left(x^{2}-8x\right)+\left(x-8\right).

$$\left(x^{2}-8x\right)+\left(x-8\right)$$

Faktorer ut x i x^{2}-8x.

$$x\left(x-8\right)+x-8$$

Faktorer ut det felles leddet x-8 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-8\right)\left(x+1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-8=0 og x+1=0.

$$x=8 x=-1$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9=8\left(2x-3\right)+65$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 8 med 2x-3.

$$4x^{2}-12x+9=16x-24+65$$

Legg sammen -24 og 65 for å få 41.

$$4x^{2}-12x+9=16x+41$$

Trekk fra 16x fra begge sider.

$$4x^{2}-12x+9-16x=41$$

Kombiner -12x og -16x for å få -28x.

$$4x^{2}-28x+9=41$$

Trekk fra 41 fra begge sider.

$$4x^{2}-28x+9-41=0$$

Trekk fra 41 fra 9 for å få -32.

$$4x^{2}-28x-32=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, -28 for b og -32 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 4\left(-32\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrer -28.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 4\left(-32\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-16\left(-32\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -16 ganger -32.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+512}}{2\times 4}$$

Legg sammen 784 og 512.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{1296}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av 1296.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±36}{2\times 4}$$

Det motsatte av -28 er 28.

$$x=\frac{28±36}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$x=\frac{28±36}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{28±36}{8} når ± er pluss. Legg sammen 28 og 36.

$$x=\frac{64}{8}$$

Del 64 på 8.

$$x=8$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{28±36}{8} når ± er minus. Trekk fra 36 fra 28.

$$x=-\frac{8}{8}$$

Del -8 på 8.

$$x=-1$$

Ligningen er nå løst.

$$x=8 x=-1$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9=8\left(2x-3\right)+65$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 8 med 2x-3.

$$4x^{2}-12x+9=16x-24+65$$

Legg sammen -24 og 65 for å få 41.

$$4x^{2}-12x+9=16x+41$$

Trekk fra 16x fra begge sider.

$$4x^{2}-12x+9-16x=41$$

Kombiner -12x og -16x for å få -28x.

$$4x^{2}-28x+9=41$$

Trekk fra 9 fra begge sider.

$$4x^{2}-28x=41-9$$

Trekk fra 9 fra 41 for å få 32.

$$4x^{2}-28x=32$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4x^{2}-28x}{4}=\frac{32}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{4}\right)x=\frac{32}{4}$$

Del -28 på 4.

$$x^{2}-7x=\frac{32}{4}$$

Del 32 på 4.

$$x^{2}-7x=8$$

Del -7, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{7}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{7}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=8+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{7}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=8+\frac{49}{4}$$

Legg sammen 8 og \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{81}{4}$$

Faktoriser x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{9}{2}$$

Legg til \frac{7}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=8 x=-1$$