Løs (2x)^2-12(x+1)geq0

$$( 2 x ) ^ { 2 } - 12 ( x + 1 ) \geq 0$$

Løs for x

$$x\in (-\infty,\frac{3-\sqrt{21}}{2}]\cup [\frac{\sqrt{21}+3}{2},\infty)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Utvid \left(2x\right)^{2}.

$$2^{2}x^{2}-12\left(x+1\right)\geq 0$$

Regn ut 2 opphøyd i 2 og få 4.

$$4x^{2}-12\left(x+1\right)\geq 0$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere -12 med x+1.

$$4x^{2}-12x-12\geq 0$$

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}-12x-12=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 4 med a, -12 med b, og -12 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-12\right)}}{2\times 4}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{12±4\sqrt{21}}{8}$$

Løs ligningen x=\frac{12±4\sqrt{21}}{8} når ± er pluss og ± er minus.

$$x=\frac{\sqrt{21}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$4\left(x-\frac{\sqrt{21}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{21}}{2}\right)\geq 0$$

For at produktet skal være ≥0, x-\frac{\sqrt{21}+3}{2} og x-\frac{3-\sqrt{21}}{2} må være både ≤0 eller begge ≥0. Vurder saken når x-\frac{\sqrt{21}+3}{2} og x-\frac{3-\sqrt{21}}{2} er begge ≤0.

$$x-\frac{\sqrt{21}+3}{2}\leq 0 x-\frac{3-\sqrt{21}}{2}\leq 0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\leq \frac{3-\sqrt{21}}{2}.

$$x\leq \frac{3-\sqrt{21}}{2}$$

Vurder saken når x-\frac{\sqrt{21}+3}{2} og x-\frac{3-\sqrt{21}}{2} er begge ≥0.

$$x-\frac{3-\sqrt{21}}{2}\geq 0 x-\frac{\sqrt{21}+3}{2}\geq 0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\geq \frac{\sqrt{21}+3}{2}.

$$x\geq \frac{\sqrt{21}+3}{2}$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$x\leq \frac{3-\sqrt{21}}{2}\text{; }x\geq \frac{\sqrt{21}+3}{2}$$