Løs (2x+3)(x^2-16)+(x-4)(x+40)=2(x-4)(x^2-16)

$$( 2 x + 3 ) ( x ^ { 2 } - 16 ) + ( x - 4 ) ( x + 40 ) = 2 ( x - 4 ) ( x ^ { 2 } - 16 )$$

Løs for x

$$x=-7$$

$$x=4$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Bruk den distributive lov til å multiplisere 2x+3 med x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x-4 med x+40 og kombinere like ledd.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Kombiner 3x^{2} og x^{2} for å få 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Kombiner -32x og 36x for å få 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Trekk fra 160 fra -48 for å få -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 2 med x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 2x-8 med x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Trekk fra 2x^{3} fra begge sider.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Kombiner 2x^{3} og -2x^{3} for å få 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Legg til 32x på begge sider.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Kombiner 4x og 32x for å få 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Legg til 8x^{2} på begge sider.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Kombiner 4x^{2} og 8x^{2} for å få 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Trekk fra 128 fra begge sider.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Trekk fra 128 fra -208 for å få -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Del begge sidene på 12.

$$3x+x^{2}-28=0$$

Skriv polynomet på standardform ved å plassere leddene i rekkefølge fra høyeste til laveste potens.

$$x^{2}+3x-28=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som x^{2}+ax+bx-28. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Løsningen er paret som gir Summer 3.

$$a=-4 b=7$$

Skriv om x^{2}+3x-28 som \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

Faktor ut x i den første og 7 i den andre gruppen.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-4 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-4=0 og x+7=0.

$$x=4 x=-7$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Bruk den distributive lov til å multiplisere 2x+3 med x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x-4 med x+40 og kombinere like ledd.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Kombiner 3x^{2} og x^{2} for å få 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Kombiner -32x og 36x for å få 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Trekk fra 160 fra -48 for å få -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 2 med x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 2x-8 med x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Trekk fra 2x^{3} fra begge sider.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Kombiner 2x^{3} og -2x^{3} for å få 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Legg til 32x på begge sider.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Kombiner 4x og 32x for å få 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Legg til 8x^{2} på begge sider.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Kombiner 4x^{2} og 8x^{2} for å få 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Trekk fra 128 fra begge sider.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Trekk fra 128 fra -208 for å få -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$12x^{2}+36x-336=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 12 for a, 36 for b og -336 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Kvadrer 36.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Multipliser -4 ganger 12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Multipliser -48 ganger -336.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296+16128}}{2\times 12}$$

Legg sammen 1296 og 16128.

$$x=\frac{-36±\sqrt{17424}}{2\times 12}$$

Ta kvadratroten av 17424.

$$x=\frac{-36±132}{2\times 12}$$

Multipliser 2 ganger 12.

$$x=\frac{-36±132}{24}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-36±132}{24} når ± er pluss. Legg sammen -36 og 132.

$$x=\frac{96}{24}$$

Del 96 på 24.

$$x=4$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-36±132}{24} når ± er minus. Trekk fra 132 fra -36.

$$x=-\frac{168}{24}$$

Del -168 på 24.

$$x=-7$$

Ligningen er nå løst.

$$x=4 x=-7$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Bruk den distributive lov til å multiplisere 2x+3 med x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere x-4 med x+40 og kombinere like ledd.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Kombiner 3x^{2} og x^{2} for å få 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Kombiner -32x og 36x for å få 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Trekk fra 160 fra -48 for å få -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 2 med x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 2x-8 med x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Trekk fra 2x^{3} fra begge sider.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Kombiner 2x^{3} og -2x^{3} for å få 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Legg til 32x på begge sider.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Kombiner 4x og 32x for å få 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Legg til 8x^{2} på begge sider.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Kombiner 4x^{2} og 8x^{2} for å få 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Legg til 208 på begge sider.

$$36x+12x^{2}=128+208$$

Legg sammen 128 og 208 for å få 336.

$$36x+12x^{2}=336$$

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+36x=336$$

Del begge sidene på 12.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=\frac{336}{12}$$

Hvis du deler på 12, gjør du om gangingen med 12.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=\frac{336}{12}$$

Del 36 på 12.

$$x^{2}+3x=\frac{336}{12}$$

Del 336 på 12.

$$x^{2}+3x=28$$

Del 3, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{3}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{3}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{3}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Legg sammen 28 og \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Faktoriser x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Trekk fra \frac{3}{2} fra begge sider av ligningen.

$$x=4 x=-7$$