Løs (x^2-5x+3)=8

$$( { x }^{ 2 } -5x+3)=8$$

Løs for x

$$x = \frac{3 \sqrt{5} + 5}{2} \approx 5,854101966$$

$$x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}\approx -0,854101966$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x^{2}-5x+3=8$$

Trekk fra 8 fra begge sider av ligningen.

$$x^{2}-5x+3-8=8-8$$

Når du trekker fra 8 fra seg selv har du 0 igjen.

$$x^{2}-5x+3-8=0$$

Trekk fra 8 fra 3.

$$x^{2}-5x-5=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, -5 for b og -5 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-5\right)}}{2}$$

Kvadrer -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-5\right)}}{2}$$

Multipliser -4 ganger -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+20}}{2}$$

Legg sammen 25 og 20.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{45}}{2}$$

Ta kvadratroten av 45.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3\sqrt{5}}{2}$$

Det motsatte av -5 er 5.

$$x=\frac{5±3\sqrt{5}}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{5±3\sqrt{5}}{2} når ± er pluss. Legg sammen 5 og 3\sqrt{5}.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+5}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{5±3\sqrt{5}}{2} når ± er minus. Trekk fra 3\sqrt{5} fra 5.

$$x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+5}{2} x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-5x+3=8$$

Trekk fra 3 fra begge sider av ligningen.

$$x^{2}-5x+3-3=8-3$$

Når du trekker fra 3 fra seg selv har du 0 igjen.

$$x^{2}-5x=8-3$$

Trekk fra 3 fra 8.

$$x^{2}-5x=5$$

Divider -5, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{5}{2}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{5}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=5+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{5}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=5+\frac{25}{4}$$

Legg sammen 5 og \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{45}{4}$$

Faktoriser x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{45}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{4}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{3\sqrt{5}}{2}$$

Legg til \frac{5}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+5}{2} x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$$