Løs (frac{sqrt{5}+1}{2})^2-(frac{sqrt{5}-1}{2})^2

$$( \frac { \sqrt { 5 } + 1 } { 2 } ) ^ { 2 } - ( \frac { \sqrt { 5 } - 1 } { 2 } ) ^ { 2 }$$

Evaluer

$$\sqrt{5}\approx 2,236067977$$

Korte løsningstrinn

Hvis du vil heve \frac{\sqrt{5}+1}{2} i en potens, øker du både telleren og nevneren i en potens, og deler deretter.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^{2}$$

Hvis du vil heve \frac{\sqrt{5}-1}{2} i en potens, øker du både telleren og nevneren i en potens, og deler deretter.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-1\right)^{2}}{2^{2}}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(\sqrt{5}-1\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-2\sqrt{5}+1}{2^{2}}$$

Kvadratrota av \sqrt{5} er 5.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{5-2\sqrt{5}+1}{2^{2}}$$

Legg sammen 5 og 1 for å få 6.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{6-2\sqrt{5}}{2^{2}}$$

Regn ut 2 opphøyd i 2 og få 4.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{6-2\sqrt{5}}{4}$$

Hvis du vil legge til eller trekke fra uttrykk, kan du utvide dem for å gjøre nevnerne like. Utvid 2^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{4}-\frac{6-2\sqrt{5}}{4}$$

Siden \frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{4} og \frac{6-2\sqrt{5}}{4} har samme nevner, kan du subtrahere dem ved å subtrahere tellerne.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}-\left(6-2\sqrt{5}\right)}{4}$$

Utfør multiplikasjonene i \left(\sqrt{5}+1\right)^{2}-\left(6-2\sqrt{5}\right).

$$\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}+2\sqrt{5}+1-6+2\sqrt{5}}{4}$$

Utfør beregningene i \left(\sqrt{5}\right)^{2}+2\sqrt{5}+1-6+2\sqrt{5}.

$$\frac{4\sqrt{5}}{4}$$

Eliminer 4 og 4.

$$\sqrt{5}$$

Utvid

$$\sqrt{5} = 2,236067977$$

Korte løsningstrinn

Hvis du vil heve \frac{\sqrt{5}+1}{2} i en potens, øker du både telleren og nevneren i en potens, og deler deretter.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^{2}$$

Hvis du vil heve \frac{\sqrt{5}-1}{2} i en potens, øker du både telleren og nevneren i en potens, og deler deretter.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-1\right)^{2}}{2^{2}}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(\sqrt{5}-1\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-2\sqrt{5}+1}{2^{2}}$$

Kvadratrota av \sqrt{5} er 5.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{5-2\sqrt{5}+1}{2^{2}}$$

Legg sammen 5 og 1 for å få 6.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{6-2\sqrt{5}}{2^{2}}$$

Regn ut 2 opphøyd i 2 og få 4.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{2^{2}}-\frac{6-2\sqrt{5}}{4}$$

Hvis du vil legge til eller trekke fra uttrykk, kan du utvide dem for å gjøre nevnerne like. Utvid 2^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{4}-\frac{6-2\sqrt{5}}{4}$$

Siden \frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}}{4} og \frac{6-2\sqrt{5}}{4} har samme nevner, kan du subtrahere dem ved å subtrahere tellerne.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2}-\left(6-2\sqrt{5}\right)}{4}$$

Utfør multiplikasjonene i \left(\sqrt{5}+1\right)^{2}-\left(6-2\sqrt{5}\right).

$$\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}+2\sqrt{5}+1-6+2\sqrt{5}}{4}$$

Utfør beregningene i \left(\sqrt{5}\right)^{2}+2\sqrt{5}+1-6+2\sqrt{5}.

$$\frac{4\sqrt{5}}{4}$$

Eliminer 4 og 4.

$$\sqrt{5}$$