Løs z^2+27=10z

$${ z }^{ 2 } +27 = 10z$$

Løs for z

$$z=5+\sqrt{2}i\approx 5+1,414213562i$$

$$z=-\sqrt{2}i+5\approx 5-1,414213562i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Trekk fra 10z fra begge sider.

$$z^{2}+27-10z=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$z^{2}-10z+27=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, -10 for b og 27 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 27}}{2}$$

Kvadrer -10.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 27}}{2}$$

Multipliser -4 ganger 27.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-108}}{2}$$

Legg sammen 100 og -108.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-8}}{2}$$

Ta kvadratroten av -8.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{2}i}{2}$$

Det motsatte av -10 er 10.

$$z=\frac{10±2\sqrt{2}i}{2}$$

Nå kan du løse formelen z=\frac{10±2\sqrt{2}i}{2} når ± er pluss. Legg sammen 10 og 2i\sqrt{2}.

$$z=\frac{10+2\sqrt{2}i}{2}$$

Del 10+2i\sqrt{2} på 2.

$$z=5+\sqrt{2}i$$

Nå kan du løse formelen z=\frac{10±2\sqrt{2}i}{2} når ± er minus. Trekk fra 2i\sqrt{2} fra 10.

$$z=\frac{-2\sqrt{2}i+10}{2}$$

Del 10-2i\sqrt{2} på 2.

$$z=-\sqrt{2}i+5$$

Ligningen er nå løst.

$$z=5+\sqrt{2}i z=-\sqrt{2}i+5$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Trekk fra 10z fra begge sider.

$$z^{2}+27-10z=0$$

Trekk fra 27 fra begge sider. Hvilket som helst tall trukket fra null gir sin negasjon.

$$z^{2}-10z=-27$$

Del -10, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -5. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -5 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$z^{2}-10z+\left(-5\right)^{2}=-27+\left(-5\right)^{2}$$

Kvadrer -5.

$$z^{2}-10z+25=-27+25$$

Legg sammen -27 og 25.

$$z^{2}-10z+25=-2$$

Faktoriser z^{2}-10z+25. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-5\right)^{2}=-2$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(z-5\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Forenkle.

$$z-5=\sqrt{2}i z-5=-\sqrt{2}i$$

Legg til 5 på begge sider av ligningen.

$$z=5+\sqrt{2}i z=-\sqrt{2}i+5$$