Løs x^6+1=x^4+x^2

$${ x }^{ 6 } +1= { x }^{ 4 } + { x }^{ 2 }$$

Løs for x

$$x=-1$$

$$x=1$$

Løsningstrinn

Trekk fra x^{4} fra begge sider.

$$x^{6}+1-x^{4}=x^{2}$$

Trekk fra x^{2} fra begge sider.

$$x^{6}+1-x^{4}-x^{2}=0$$

Skriv ligningen på standardform ved å plassere leddene i rekkefølge fra høyeste til laveste potens.

$$x^{6}-x^{4}-x^{2}+1=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet 1 og q dividerer den ledende koeffisienten 1. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=1$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del x^{6}-x^{4}-x^{2}+1 på x-1 for å få x^{5}+x^{4}-x-1. Løs formelen der resultatet er lik 0.

$$x^{5}+x^{4}-x-1=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet -1 og q dividerer den ledende koeffisienten 1. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=1$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del x^{5}+x^{4}-x-1 på x-1 for å få x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1. Løs formelen der resultatet er lik 0.

$$x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet 1 og q dividerer den ledende koeffisienten 1. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=-1$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1 på x+1 for å få x^{3}+x^{2}+x+1. Løs formelen der resultatet er lik 0.

$$x^{3}+x^{2}+x+1=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet 1 og q dividerer den ledende koeffisienten 1. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=-1$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del x^{3}+x^{2}+x+1 på x+1 for å få x^{2}+1. Løs formelen der resultatet er lik 0.

$$x^{2}+1=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 1 med a, 0 med b, og 1 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{0±\sqrt{-4}}{2}$$

Siden kvadratroten av et negativt tall ikke er definert i det reelle feltet, finnes det ingen løsninger.

$$x\in \emptyset$$

Vis alle løsninger som er funnet.

$$x=1 x=-1$$

Løs for x (complex solution)

$$x=i$$

$$x=-i$$

$$x=-1$$

$$x=1$$