Løs x^5+3x^4=x+3

$${ x }^{ 5 } +3 { x }^{ 4 } =x+3$$

Løs for x

$$x=-3$$

$$x=1$$

$$x=-1$$

Løsningstrinn

Trekk fra x fra begge sider.

$$x^{5}+3x^{4}-x=3$$

Trekk fra 3 fra begge sider.

$$x^{5}+3x^{4}-x-3=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet -3 og q dividerer den ledende koeffisienten 1. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±3,±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=1$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del x^{5}+3x^{4}-x-3 på x-1 for å få x^{4}+4x^{3}+4x^{2}+4x+3. Løs formelen der resultatet er lik 0.

$$x^{4}+4x^{3}+4x^{2}+4x+3=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet 3 og q dividerer den ledende koeffisienten 1. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±3,±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=-1$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del x^{4}+4x^{3}+4x^{2}+4x+3 på x+1 for å få x^{3}+3x^{2}+x+3. Løs formelen der resultatet er lik 0.

$$x^{3}+3x^{2}+x+3=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet 3 og q dividerer den ledende koeffisienten 1. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±3,±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=-3$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del x^{3}+3x^{2}+x+3 på x+3 for å få x^{2}+1. Løs formelen der resultatet er lik 0.

$$x^{2}+1=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 1 med a, 0 med b, og 1 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{0±\sqrt{-4}}{2}$$

Siden kvadratroten av et negativt tall ikke er definert i det reelle feltet, finnes det ingen løsninger.

$$x\in \emptyset$$

Vis alle løsninger som er funnet.

$$x=1 x=-1 x=-3$$

Løs for x (complex solution)

$$x=-1$$

$$x=1$$

$$x=-i$$

$$x=i$$

$$x=-3$$