Løs x^4-4x^2+3

$${ x }^{ 4 } -4 { x }^{ 2 } +3$$

Faktoriser

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^{2}-3\right)$$

Løsningstrinn

Hvis du vil beregne uttrykket, kan du løse ligningen der den er lik 0.

$$x^{4}-4x^{2}+3=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet 3 og q dividerer den ledende koeffisienten 1. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±3,±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=1$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del x^{4}-4x^{2}+3 på x-1 for å få x^{3}+x^{2}-3x-3. Hvis du vil beregne resultatet, kan du løse formelen der den er lik 0.

$$x^{3}+x^{2}-3x-3=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet -3 og q dividerer den ledende koeffisienten 1. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±3,±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=-1$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del x^{3}+x^{2}-3x-3 på x+1 for å få x^{2}-3. Hvis du vil beregne resultatet, kan du løse formelen der den er lik 0.

$$x^{2}-3=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 1 med a, 0 med b, og -3 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-3\right)}}{2}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{0±2\sqrt{3}}{2}$$

Løs ligningen x^{2}-3=0 når ± er pluss og ± er minus.

$$x=-\sqrt{3} x=\sqrt{3}$$

Skriv om det faktoriserte uttrykket på nytt ved hjelp av de hentede røttene. Polynom x^{2}-3 er ikke beregnet fordi det ikke har noen rasjonelle røtter.

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^{2}-3\right)$$

Evaluer

$$x^{4}-4x^{2}+3$$