Løs x^4+4x+3=0

$${ x }^{ 4 } +4x+3=0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=1+\sqrt{2}i\approx 1+1,414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i+1\approx 1-1,414213562i$$

$$x=-1$$

Løsningstrinn

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet 3 og q dividerer den ledende koeffisienten 1. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±3,±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=-1$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del x^{4}+4x+3 på x+1 for å få x^{3}-x^{2}+x+3. Løs formelen der resultatet er lik 0.

$$x^{3}-x^{2}+x+3=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet 3 og q dividerer den ledende koeffisienten 1. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±3,±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=-1$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del x^{3}-x^{2}+x+3 på x+1 for å få x^{2}-2x+3. Løs formelen der resultatet er lik 0.

$$x^{2}-2x+3=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 1 med a, -2 med b, og 3 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{2±\sqrt{-8}}{2}$$

Løs ligningen x^{2}-2x+3=0 når ± er pluss og ± er minus.

$$x=-\sqrt{2}i+1 x=1+\sqrt{2}i$$

Vis alle løsninger som er funnet.

$$x=-1 x=-\sqrt{2}i+1 x=1+\sqrt{2}i$$

Løs for x

$$x=-1$$

Løsningstrinn

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet 3 og q dividerer den ledende koeffisienten 1. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±3,±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=-1$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del x^{4}+4x+3 på x+1 for å få x^{3}-x^{2}+x+3. Løs formelen der resultatet er lik 0.

$$x^{3}-x^{2}+x+3=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet 3 og q dividerer den ledende koeffisienten 1. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±3,±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=-1$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del x^{3}-x^{2}+x+3 på x+1 for å få x^{2}-2x+3. Løs formelen der resultatet er lik 0.

$$x^{2}-2x+3=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 1 med a, -2 med b, og 3 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{2±\sqrt{-8}}{2}$$

Siden kvadratroten av et negativt tall ikke er definert i det reelle feltet, finnes det ingen løsninger.

$$x\in \emptyset$$

Vis alle løsninger som er funnet.

$$x=-1$$