Løs x^3-x-1-x=0

$${ x }^{ 3 } -x-1-x=0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618033989$$

$$x=-1$$

Løsningstrinn

Skriv ligningen på standardform ved å plassere leddene i rekkefølge fra høyeste til laveste potens.

$$x^{3}-x-x-1=0$$

Multipliser og kombiner like ledd.

$$x^{3}-2x-1=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet -1 og q dividerer den ledende koeffisienten 1. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=-1$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del x^{3}-2x-1 på x+1 for å få x^{2}-x-1. Løs formelen der resultatet er lik 0.

$$x^{2}-x-1=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 1 med a, -1 med b, og -1 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Løs ligningen x^{2}-x-1=0 når ± er pluss og ± er minus.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Vis alle løsninger som er funnet.

$$x=-1 x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$