Løs x^2-x-1>0

$${ x }^{ 2 } -x-1 > 0$$

Løs for x

$$x\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2},\infty\right)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-x-1=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 1 med a, -1 med b, og -1 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Løs ligningen x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} når ± er pluss og ± er minus.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)>0$$

Hvis produktet skal være positivt, x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} og x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} må være både negative eller positive. Vurder saken når både x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} og x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} er negative.

$$x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}<0 x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Vurder saken når x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} og x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} er positive.

$$x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}>0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}.

$$x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$