Løs x^2-6x+11=0

$${ x }^{ 2 } -6x+11 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=3+\sqrt{2}i\approx 3+1,414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i+3\approx 3-1,414213562i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x^{2}-6x+11=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, -6 for b og 11 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 11}}{2}$$

Kvadrer -6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 11}}{2}$$

Multipliser -4 ganger 11.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-44}}{2}$$

Legg sammen 36 og -44.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-8}}{2}$$

Ta kvadratroten av -8.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{2}i}{2}$$

Det motsatte av -6 er 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2} når ± er pluss. Legg sammen 6 og 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{6+2\sqrt{2}i}{2}$$

Del 6+2i\sqrt{2} på 2.

$$x=3+\sqrt{2}i$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2} når ± er minus. Trekk fra 2i\sqrt{2} fra 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i+6}{2}$$

Del 6-2i\sqrt{2} på 2.

$$x=-\sqrt{2}i+3$$

Ligningen er nå løst.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-6x+11=0$$

Trekk fra 11 fra begge sider av ligningen.

$$x^{2}-6x+11-11=-11$$

Når du trekker fra 11 fra seg selv har du 0 igjen.

$$x^{2}-6x=-11$$

Divider -6, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -3. Legg deretter til kvadratet av -3 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-11+\left(-3\right)^{2}$$

Kvadrer -3.

$$x^{2}-6x+9=-11+9$$

Legg sammen -11 og 9.

$$x^{2}-6x+9=-2$$

Faktoriser x^{2}-6x+9. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=-2$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Forenkle.

$$x-3=\sqrt{2}i x-3=-\sqrt{2}i$$

Legg til 3 på begge sider av ligningen.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$