Løs x^2-5x+4=0

$${ x }^{ 2 } -5x+4=0$$

Løs for x

$$x=1$$

$$x=4$$

Trinn ved bruk av faktorisering

For å løse ligningen må du faktorisere x^{2}-5x+4 ved å bruke formelen x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-5 ab=4$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Løsningen er paret som gir Summer -5.

$$a=-4 b=-1$$

Skriv om det faktoriserte uttrykket \left(x+a\right)\left(x+b\right) ved hjelp av de oppnådde verdiene.

$$\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-4=0 og x-1=0.

$$x=4 x=1$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som x^{2}+ax+bx+4. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-5 ab=1\times 4=4$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Løsningen er paret som gir Summer -5.

$$a=-4 b=-1$$

Skriv om x^{2}-5x+4 som \left(x^{2}-4x\right)+\left(-x+4\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(-x+4\right)$$

Faktor ut x i den første og -1 i den andre gruppen.

$$x\left(x-4\right)-\left(x-4\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-4 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-4=0 og x-1=0.

$$x=4 x=1$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x^{2}-5x+4=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, -5 for b og 4 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2}$$

Kvadrer -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2}$$

Legg sammen 25 og -16.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Ta kvadratroten av 9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3}{2}$$

Det motsatte av -5 er 5.

$$x=\frac{5±3}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{5±3}{2} når ± er pluss. Legg sammen 5 og 3.

$$x=\frac{8}{2}$$

Del 8 på 2.

$$x=4$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{5±3}{2} når ± er minus. Trekk fra 3 fra 5.

$$x=\frac{2}{2}$$

Del 2 på 2.

$$x=1$$

Ligningen er nå løst.

$$x=4 x=1$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-5x+4=0$$

Trekk fra 4 fra begge sider av ligningen.

$$x^{2}-5x+4-4=-4$$

Når du trekker fra 4 fra seg selv har du 0 igjen.

$$x^{2}-5x=-4$$

Divider -5, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{5}{2}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{5}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{5}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-4+\frac{25}{4}$$

Legg sammen -4 og \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktoriser x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{3}{2}$$

Legg til \frac{5}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=4 x=1$$