Løs x^2-5x+12=3

$${ x }^{ 2 } -5x+12=3$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{11}i}{2}\approx 2,5+1,658312395i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+5}{2}\approx 2,5-1,658312395i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x^{2}-5x+12=3$$

Trekk fra 3 fra begge sider av ligningen.

$$x^{2}-5x+12-3=3-3$$

Når du trekker fra 3 fra seg selv har du 0 igjen.

$$x^{2}-5x+12-3=0$$

Trekk fra 3 fra 12.

$$x^{2}-5x+9=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, -5 for b og 9 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 9}}{2}$$

Kvadrer -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 9}}{2}$$

Multipliser -4 ganger 9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-36}}{2}$$

Legg sammen 25 og -36.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-11}}{2}$$

Ta kvadratroten av -11.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{11}i}{2}$$

Det motsatte av -5 er 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{11}i}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{5±\sqrt{11}i}{2} når ± er pluss. Legg sammen 5 og i\sqrt{11}.

$$x=\frac{5+\sqrt{11}i}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{5±\sqrt{11}i}{2} når ± er minus. Trekk fra i\sqrt{11} fra 5.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+5}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{5+\sqrt{11}i}{2} x=\frac{-\sqrt{11}i+5}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-5x+12=3$$

Trekk fra 12 fra begge sider av ligningen.

$$x^{2}-5x+12-12=3-12$$

Når du trekker fra 12 fra seg selv har du 0 igjen.

$$x^{2}-5x=3-12$$

Trekk fra 12 fra 3.

$$x^{2}-5x=-9$$

Del -5, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{5}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{5}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-9+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{5}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-9+\frac{25}{4}$$

Legg sammen -9 og \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{11}{4}$$

Faktoriser x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{4}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{11}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{11}i}{2}$$

Legg til \frac{5}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{5+\sqrt{11}i}{2} x=\frac{-\sqrt{11}i+5}{2}$$