Løs x^2-4x-5=2

$${ x }^{ 2 } -4x-5 = 2$$

Løs for x

$$x=\sqrt{11}+2\approx 5,31662479$$

$$x=2-\sqrt{11}\approx -1,31662479$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x^{2}-4x-5=2$$

Trekk fra 2 fra begge sider av ligningen.

$$x^{2}-4x-5-2=2-2$$

Når du trekker fra 2 fra seg selv har du 0 igjen.

$$x^{2}-4x-5-2=0$$

Trekk fra 2 fra -5.

$$x^{2}-4x-7=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, -4 for b og -7 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-7\right)}}{2}$$

Kvadrer -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-7\right)}}{2}$$

Multipliser -4 ganger -7.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+28}}{2}$$

Legg sammen 16 og 28.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{44}}{2}$$

Ta kvadratroten av 44.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{11}}{2}$$

Det motsatte av -4 er 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{11}}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{4±2\sqrt{11}}{2} når ± er pluss. Legg sammen 4 og 2\sqrt{11}.

$$x=\frac{2\sqrt{11}+4}{2}$$

Del 4+2\sqrt{11} på 2.

$$x=\sqrt{11}+2$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{4±2\sqrt{11}}{2} når ± er minus. Trekk fra 2\sqrt{11} fra 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{11}}{2}$$

Del 4-2\sqrt{11} på 2.

$$x=2-\sqrt{11}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\sqrt{11}+2 x=2-\sqrt{11}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-4x-5=2$$

Legg til 5 på begge sider av ligningen.

$$x^{2}-4x-5-\left(-5\right)=2-\left(-5\right)$$

Når du trekker fra -5 fra seg selv har du 0 igjen.

$$x^{2}-4x=2-\left(-5\right)$$

Trekk fra -5 fra 2.

$$x^{2}-4x=7$$

Divider -4, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -2. Legg deretter til kvadratet av -2 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=7+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrer -2.

$$x^{2}-4x+4=7+4$$

Legg sammen 7 og 4.

$$x^{2}-4x+4=11$$

Faktoriser x^{2}-4x+4. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=11$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{11}$$

Forenkle.

$$x-2=\sqrt{11} x-2=-\sqrt{11}$$

Legg til 2 på begge sider av ligningen.

$$x=\sqrt{11}+2 x=2-\sqrt{11}$$