Løs x^2-4x-1=0

$${ x }^{ 2 } -4x-1=0$$

Løs for x

$$x=\sqrt{5}+2\approx 4,236067977$$

$$x=2-\sqrt{5}\approx -0,236067977$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x^{2}-4x-1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, -4 for b og -1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Kvadrer -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-1\right)}}{2}$$

Multipliser -4 ganger -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+4}}{2}$$

Legg sammen 16 og 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{20}}{2}$$

Ta kvadratroten av 20.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{5}}{2}$$

Det motsatte av -4 er 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2} når ± er pluss. Legg sammen 4 og 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}+4}{2}$$

Del 4+2\sqrt{5} på 2.

$$x=\sqrt{5}+2$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2} når ± er minus. Trekk fra 2\sqrt{5} fra 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{5}}{2}$$

Del 4-2\sqrt{5} på 2.

$$x=2-\sqrt{5}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\sqrt{5}+2 x=2-\sqrt{5}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-4x-1=0$$

Legg til 1 på begge sider av ligningen.

$$x^{2}-4x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Når du trekker fra -1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$x^{2}-4x=-\left(-1\right)$$

Trekk fra -1 fra 0.

$$x^{2}-4x=1$$

Del -4, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -2. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -2 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=1+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrer -2.

$$x^{2}-4x+4=1+4$$

Legg sammen 1 og 4.

$$x^{2}-4x+4=5$$

Faktoriser x^{2}-4x+4. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=5$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Forenkle.

$$x-2=\sqrt{5} x-2=-\sqrt{5}$$

Legg til 2 på begge sider av ligningen.

$$x=\sqrt{5}+2 x=2-\sqrt{5}$$