Løs x^2-4x+5=0

$${ x }^{ 2 } -4x+5 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=2+i$$

$$x=2-i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x^{2}-4x+5=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, -4 for b og 5 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5}}{2}$$

Kvadrer -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5}}{2}$$

Multipliser -4 ganger 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20}}{2}$$

Legg sammen 16 og -20.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-4}}{2}$$

Ta kvadratroten av -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2i}{2}$$

Det motsatte av -4 er 4.

$$x=\frac{4±2i}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{4±2i}{2} når ± er pluss. Legg sammen 4 og 2i.

$$x=\frac{4+2i}{2}$$

Del 4+2i på 2.

$$x=2+i$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{4±2i}{2} når ± er minus. Trekk fra 2i fra 4.

$$x=\frac{4-2i}{2}$$

Del 4-2i på 2.

$$x=2-i$$

Ligningen er nå løst.

$$x=2+i x=2-i$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-4x+5=0$$

Trekk fra 5 fra begge sider av ligningen.

$$x^{2}-4x+5-5=-5$$

Når du trekker fra 5 fra seg selv har du 0 igjen.

$$x^{2}-4x=-5$$

Del -4, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -2. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -2 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-5+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrer -2.

$$x^{2}-4x+4=-5+4$$

Legg sammen -5 og 4.

$$x^{2}-4x+4=-1$$

Faktoriser x^{2}-4x+4. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=-1$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Forenkle.

$$x-2=i x-2=-i$$

Legg til 2 på begge sider av ligningen.

$$x=2+i x=2-i$$