Løs x^2-4x+1=0

$${ x }^{ 2 } -4x+1=0$$

Løs for x

$$x=\sqrt{3}+2\approx 3,732050808$$

$$x=2-\sqrt{3}\approx 0,267949192$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x^{2}-4x+1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, -4 for b og 1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4}}{2}$$

Kvadrer -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4}}{2}$$

Legg sammen 16 og -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Ta kvadratroten av 12.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Det motsatte av -4 er 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2} når ± er pluss. Legg sammen 4 og 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+4}{2}$$

Del 4+2\sqrt{3} på 2.

$$x=\sqrt{3}+2$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2} når ± er minus. Trekk fra 2\sqrt{3} fra 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}$$

Del 4-2\sqrt{3} på 2.

$$x=2-\sqrt{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\sqrt{3}+2 x=2-\sqrt{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-4x+1=0$$

Trekk fra 1 fra begge sider av ligningen.

$$x^{2}-4x+1-1=-1$$

Når du trekker fra 1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$x^{2}-4x=-1$$

Del -4, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -2. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -2 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-1+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrer -2.

$$x^{2}-4x+4=-1+4$$

Legg sammen -1 og 4.

$$x^{2}-4x+4=3$$

Faktoriser x^{2}-4x+4. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=3$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{3}$$

Forenkle.

$$x-2=\sqrt{3} x-2=-\sqrt{3}$$

Legg til 2 på begge sider av ligningen.

$$x=\sqrt{3}+2 x=2-\sqrt{3}$$