Løs x^2-3x+1<0

$${ x }^{ 2 } -3x+1 < 0$$

Løs for x

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-3x+1=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 1 med a, -3 med b, og 1 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

Løs ligningen x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} når ± er pluss og ± er minus.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)<0$$

For at produktet skal være negativt, x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} og x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} må være av motsatt tegn. Vurder saken når x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} er positiv og x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} er negativ.

$$x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}>0 x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}<0$$

Dette er usant for alle x.

$$x\in \emptyset$$

Vurder saken når x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} er positiv og x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} er negativ.

$$x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}<0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$