Løs x^2-30x-1000=0

$${ x }^{ 2 } -30x-1000=0$$

Løs for x

$$x=-20$$

$$x=50$$

Trinn ved bruk av faktorisering

Hvis du vil løse formelen, faktor x^{2}-30x-1000 å bruke formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-30 ab=-1000$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -1000.

$$1,-1000 2,-500 4,-250 5,-200 8,-125 10,-100 20,-50 25,-40$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-1000=-999 2-500=-498 4-250=-246 5-200=-195 8-125=-117 10-100=-90 20-50=-30 25-40=-15$$

Løsningen er paret som gir Summer -30.

$$a=-50 b=20$$

Skriv om det faktoriserte uttrykket \left(x+a\right)\left(x+b\right) ved hjelp av de oppnådde verdiene.

$$\left(x-50\right)\left(x+20\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-50=0 og x+20=0.

$$x=50 x=-20$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som x^{2}+ax+bx-1000. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-30 ab=1\left(-1000\right)=-1000$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -1000.

$$1,-1000 2,-500 4,-250 5,-200 8,-125 10,-100 20,-50 25,-40$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-1000=-999 2-500=-498 4-250=-246 5-200=-195 8-125=-117 10-100=-90 20-50=-30 25-40=-15$$

Løsningen er paret som gir Summer -30.

$$a=-50 b=20$$

Skriv om x^{2}-30x-1000 som \left(x^{2}-50x\right)+\left(20x-1000\right).

$$\left(x^{2}-50x\right)+\left(20x-1000\right)$$

Faktor ut x i den første og 20 i den andre gruppen.

$$x\left(x-50\right)+20\left(x-50\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-50 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-50\right)\left(x+20\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-50=0 og x+20=0.

$$x=50 x=-20$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x^{2}-30x-1000=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, -30 for b og -1000 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\left(-1000\right)}}{2}$$

Kvadrer -30.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\left(-1000\right)}}{2}$$

Multipliser -4 ganger -1000.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900+4000}}{2}$$

Legg sammen 900 og 4000.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{4900}}{2}$$

Ta kvadratroten av 4900.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±70}{2}$$

Det motsatte av -30 er 30.

$$x=\frac{30±70}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{30±70}{2} når ± er pluss. Legg sammen 30 og 70.

$$x=\frac{100}{2}$$

Del 100 på 2.

$$x=50$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{30±70}{2} når ± er minus. Trekk fra 70 fra 30.

$$x=-\frac{40}{2}$$

Del -40 på 2.

$$x=-20$$

Ligningen er nå løst.

$$x=50 x=-20$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-30x-1000=0$$

Legg til 1000 på begge sider av ligningen.

$$x^{2}-30x-1000-\left(-1000\right)=-\left(-1000\right)$$

Når du trekker fra -1000 fra seg selv har du 0 igjen.

$$x^{2}-30x=-\left(-1000\right)$$

Trekk fra -1000 fra 0.

$$x^{2}-30x=1000$$

Del -30, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -15. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -15 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-30x+\left(-15\right)^{2}=1000+\left(-15\right)^{2}$$

Kvadrer -15.

$$x^{2}-30x+225=1000+225$$

Legg sammen 1000 og 225.

$$x^{2}-30x+225=1225$$

Faktoriser x^{2}-30x+225. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-15\right)^{2}=1225$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-15\right)^{2}}=\sqrt{1225}$$

Forenkle.

$$x-15=35 x-15=-35$$

Legg til 15 på begge sider av ligningen.

$$x=50 x=-20$$