Løs x^2-2x-3leq0

$${ x }^{ 2 } -2x-3 \leq 0$$

Løs for x

$$x\in \begin{bmatrix}-1,3\end{bmatrix}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-2x-3=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 1 med a, -2 med b, og -3 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-3\right)}}{2}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{2±4}{2}$$

Løs ligningen x=\frac{2±4}{2} når ± er pluss og ± er minus.

$$x=3 x=-1$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$\left(x-3\right)\left(x+1\right)\leq 0$$

En av verdiene x-3 og x+1 må være ≥0 og den andre må være ≤0 for at produktet skal bli ≤0. Vurder saken når x-3\geq 0 og x+1\leq 0.

$$x-3\geq 0 x+1\leq 0$$

Dette er usant for alle x.

$$x\in \emptyset$$

Vurder saken når x-3\leq 0 og x+1\geq 0.

$$x+1\geq 0 x-3\leq 0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\in \left[-1,3\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-1,3\end{bmatrix}$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$x\in \begin{bmatrix}-1,3\end{bmatrix}$$