Løs x^2-21x+104=0

$${ x }^{ 2 } -21x+104=0$$

Løs for x

$$x=8$$

$$x=13$$

Trinn ved bruk av faktorisering

For å løse ligningen må du faktorisere x^{2}-21x+104 ved å bruke formelen x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-21 ab=104$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 104.

$$-1,-104 -2,-52 -4,-26 -8,-13$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-104=-105 -2-52=-54 -4-26=-30 -8-13=-21$$

Løsningen er paret som gir Summer -21.

$$a=-13 b=-8$$

Skriv om det faktoriserte uttrykket \left(x+a\right)\left(x+b\right) ved hjelp av de oppnådde verdiene.

$$\left(x-13\right)\left(x-8\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-13=0 og x-8=0.

$$x=13 x=8$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som x^{2}+ax+bx+104. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-21 ab=1\times 104=104$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 104.

$$-1,-104 -2,-52 -4,-26 -8,-13$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-104=-105 -2-52=-54 -4-26=-30 -8-13=-21$$

Løsningen er paret som gir Summer -21.

$$a=-13 b=-8$$

Skriv om x^{2}-21x+104 som \left(x^{2}-13x\right)+\left(-8x+104\right).

$$\left(x^{2}-13x\right)+\left(-8x+104\right)$$

Faktor ut x i den første og -8 i den andre gruppen.

$$x\left(x-13\right)-8\left(x-13\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-13 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-13\right)\left(x-8\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-13=0 og x-8=0.

$$x=13 x=8$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x^{2}-21x+104=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, -21 for b og 104 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 104}}{2}$$

Kvadrer -21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 104}}{2}$$

Multipliser -4 ganger 104.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-416}}{2}$$

Legg sammen 441 og -416.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{25}}{2}$$

Ta kvadratroten av 25.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±5}{2}$$

Det motsatte av -21 er 21.

$$x=\frac{21±5}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{21±5}{2} når ± er pluss. Legg sammen 21 og 5.

$$x=\frac{26}{2}$$

Del 26 på 2.

$$x=13$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{21±5}{2} når ± er minus. Trekk fra 5 fra 21.

$$x=\frac{16}{2}$$

Del 16 på 2.

$$x=8$$

Ligningen er nå løst.

$$x=13 x=8$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-21x+104=0$$

Trekk fra 104 fra begge sider av ligningen.

$$x^{2}-21x+104-104=-104$$

Når du trekker fra 104 fra seg selv har du 0 igjen.

$$x^{2}-21x=-104$$

Divider -21, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{21}{2}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{21}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-21x+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-104+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{21}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=-104+\frac{441}{4}$$

Legg sammen -104 og \frac{441}{4}.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=\frac{25}{4}$$

Faktoriser x^{2}-21x+\frac{441}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{21}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{21}{2}=-\frac{5}{2}$$

Legg til \frac{21}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=13 x=8$$