Løs x^2-12x-5=-22

$${ x }^{ 2 } -12x-5=-22$$

Løs for x

$$x=\sqrt{19}+6\approx 10,358898944$$

$$x=6-\sqrt{19}\approx 1,641101056$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x^{2}-12x-5=-22$$

Legg til 22 på begge sider av ligningen.

$$x^{2}-12x-5-\left(-22\right)=-22-\left(-22\right)$$

Når du trekker fra -22 fra seg selv har du 0 igjen.

$$x^{2}-12x-5-\left(-22\right)=0$$

Trekk fra -22 fra -5.

$$x^{2}-12x+17=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, -12 for b og 17 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 17}}{2}$$

Kvadrer -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 17}}{2}$$

Multipliser -4 ganger 17.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-68}}{2}$$

Legg sammen 144 og -68.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{76}}{2}$$

Ta kvadratroten av 76.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±2\sqrt{19}}{2}$$

Det motsatte av -12 er 12.

$$x=\frac{12±2\sqrt{19}}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{12±2\sqrt{19}}{2} når ± er pluss. Legg sammen 12 og 2\sqrt{19}.

$$x=\frac{2\sqrt{19}+12}{2}$$

Del 12+2\sqrt{19} på 2.

$$x=\sqrt{19}+6$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{12±2\sqrt{19}}{2} når ± er minus. Trekk fra 2\sqrt{19} fra 12.

$$x=\frac{12-2\sqrt{19}}{2}$$

Del 12-2\sqrt{19} på 2.

$$x=6-\sqrt{19}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\sqrt{19}+6 x=6-\sqrt{19}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-12x-5=-22$$

Legg til 5 på begge sider av ligningen.

$$x^{2}-12x-5-\left(-5\right)=-22-\left(-5\right)$$

Når du trekker fra -5 fra seg selv har du 0 igjen.

$$x^{2}-12x=-22-\left(-5\right)$$

Trekk fra -5 fra -22.

$$x^{2}-12x=-17$$

Del -12, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -6. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -6 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-17+\left(-6\right)^{2}$$

Kvadrer -6.

$$x^{2}-12x+36=-17+36$$

Legg sammen -17 og 36.

$$x^{2}-12x+36=19$$

Faktoriser x^{2}-12x+36. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=19$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{19}$$

Forenkle.

$$x-6=\sqrt{19} x-6=-\sqrt{19}$$

Legg til 6 på begge sider av ligningen.

$$x=\sqrt{19}+6 x=6-\sqrt{19}$$