Løs x^2+x+1=0

$${ x }^{ 2 } +x+1 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0,5+0,866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0,5-0,866025404i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x^{2}+x+1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, 1 for b og 1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4}}{2}$$

Kvadrer 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4}}{2}$$

Legg sammen 1 og -4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2}$$

Ta kvadratroten av -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2} når ± er pluss. Legg sammen -1 og i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2} når ± er minus. Trekk fra i\sqrt{3} fra -1.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+x+1=0$$

Trekk fra 1 fra begge sider av ligningen.

$$x^{2}+x+1-1=-1$$

Når du trekker fra 1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$x^{2}+x=-1$$

Divider 1, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få \frac{1}{2}. Legg deretter til kvadratet av \frac{1}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

Legg sammen -1 og \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Faktoriser x^{2}+x+\frac{1}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Trekk fra \frac{1}{2} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$