Løs x^2+5x+7=0

$${ x }^{ 2 } +5x+7 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2}\approx -2,5+0,866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}\approx -2,5-0,866025404i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x^{2}+5x+7=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, 5 for b og 7 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7}}{2}$$

Kvadrer 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7}}{2}$$

Multipliser -4 ganger 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28}}{2}$$

Legg sammen 25 og -28.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-3}}{2}$$

Ta kvadratroten av -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{3}i}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-5±\sqrt{3}i}{2} når ± er pluss. Legg sammen -5 og i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-5±\sqrt{3}i}{2} når ± er minus. Trekk fra i\sqrt{3} fra -5.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+5x+7=0$$

Trekk fra 7 fra begge sider av ligningen.

$$x^{2}+5x+7-7=-7$$

Når du trekker fra 7 fra seg selv har du 0 igjen.

$$x^{2}+5x=-7$$

Del 5, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{5}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{5}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-7+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{5}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-7+\frac{25}{4}$$

Legg sammen -7 og \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-\frac{3}{4}$$

Faktoriser x^{2}+5x+\frac{25}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Trekk fra \frac{5}{2} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}$$