Løs x^2+3x+7=0

$${ x }^{ 2 } +3x+7=0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{19}i}{2}\approx -1,5+2,179449472i$$

$$x=\frac{-\sqrt{19}i-3}{2}\approx -1,5-2,179449472i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x^{2}+3x+7=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, 3 for b og 7 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 7}}{2}$$

Kvadrer 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 7}}{2}$$

Multipliser -4 ganger 7.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-28}}{2}$$

Legg sammen 9 og -28.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-19}}{2}$$

Ta kvadratroten av -19.

$$x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{2} når ± er pluss. Legg sammen -3 og i\sqrt{19}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{19}i}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{2} når ± er minus. Trekk fra i\sqrt{19} fra -3.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i-3}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{-3+\sqrt{19}i}{2} x=\frac{-\sqrt{19}i-3}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+3x+7=0$$

Trekk fra 7 fra begge sider av ligningen.

$$x^{2}+3x+7-7=-7$$

Når du trekker fra 7 fra seg selv har du 0 igjen.

$$x^{2}+3x=-7$$

Divider 3, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få \frac{3}{2}. Legg deretter til kvadratet av \frac{3}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-7+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{3}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-7+\frac{9}{4}$$

Legg sammen -7 og \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{19}{4}$$

Faktoriser x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{19}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{19}{4}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{19}i}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{19}i}{2}$$

Trekk fra \frac{3}{2} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{-3+\sqrt{19}i}{2} x=\frac{-\sqrt{19}i-3}{2}$$