Løs x^2+2/3x-509=0

$${ x }^{ 2 } + \frac{ 2 }{ 3 } x-509=0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{4582} - 1}{3} \approx 22,230157334$$

$$x=\frac{-\sqrt{4582}-1}{3}\approx -22,896824001$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x-509=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, \frac{2}{3} for b og -509 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^{2}-4\left(-509\right)}}{2}$$

Kvadrer \frac{2}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\frac{4}{9}-4\left(-509\right)}}{2}$$

Multipliser -4 ganger -509.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\frac{4}{9}+2036}}{2}$$

Legg sammen \frac{4}{9} og 2036.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\frac{18328}{9}}}{2}$$

Ta kvadratroten av \frac{18328}{9}.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\frac{2\sqrt{4582}}{3}}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-\frac{2}{3}±\frac{2\sqrt{4582}}{3}}{2} når ± er pluss. Legg sammen -\frac{2}{3} og \frac{2\sqrt{4582}}{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{4582}-2}{2\times 3}$$

Del \frac{-2+2\sqrt{4582}}{3} på 2.

$$x=\frac{\sqrt{4582}-1}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-\frac{2}{3}±\frac{2\sqrt{4582}}{3}}{2} når ± er minus. Trekk fra \frac{2\sqrt{4582}}{3} fra -\frac{2}{3}.

$$x=\frac{-2\sqrt{4582}-2}{2\times 3}$$

Del \frac{-2-2\sqrt{4582}}{3} på 2.

$$x=\frac{-\sqrt{4582}-1}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{4582}-1}{3} x=\frac{-\sqrt{4582}-1}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x-509=0$$

Legg til 509 på begge sider av ligningen.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x-509-\left(-509\right)=-\left(-509\right)$$

Når du trekker fra -509 fra seg selv har du 0 igjen.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\left(-509\right)$$

Trekk fra -509 fra 0.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=509$$

Del \frac{2}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{1}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{1}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=509+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=509+\frac{1}{9}$$

Legg sammen 509 og \frac{1}{9}.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{4582}{9}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{4582}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4582}{9}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{4582}}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{4582}}{3}$$

Trekk fra \frac{1}{3} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{4582}-1}{3} x=\frac{-\sqrt{4582}-1}{3}$$