Løs left(x+14right)^2-left(x+11right)^2=left(x-6right)^2

$${ \left(x+14 \right) }^{ 2 } - { \left(x+11 \right) }^{ 2 } = { \left(x-6 \right) }^{ 2 }$$

Løs for x

$$x=2\sqrt{30}+9\approx 19,95445115$$

$$x=9-2\sqrt{30}\approx -1,95445115$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(x+14\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(x+11\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

Du finner den motsatte av x^{2}+22x+121 ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Kombiner x^{2} og -x^{2} for å få 0.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Kombiner 28x og -22x for å få 6x.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Trekk fra 121 fra 196 for å få 75.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(x-6\right)^{2}.

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

Trekk fra x^{2} fra begge sider.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

Legg til 12x på begge sider.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

Kombiner 6x og 12x for å få 18x.

$$18x+75-x^{2}=36$$

Trekk fra 36 fra begge sider.

$$18x+75-x^{2}-36=0$$

Trekk fra 36 fra 75 for å få 39.

$$18x+39-x^{2}=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-x^{2}+18x+39=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -1 for a, 18 for b og 39 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrer 18.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser -4 ganger -1.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+4\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 4 ganger 39.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+156}}{2\left(-1\right)}$$

Legg sammen 324 og 156.

$$x=\frac{-18±\sqrt{480}}{2\left(-1\right)}$$

Ta kvadratroten av 480.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 2 ganger -1.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2} når ± er pluss. Legg sammen -18 og 4\sqrt{30}.

$$x=\frac{4\sqrt{30}-18}{-2}$$

Del -18+4\sqrt{30} på -2.

$$x=9-2\sqrt{30}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2} når ± er minus. Trekk fra 4\sqrt{30} fra -18.

$$x=\frac{-4\sqrt{30}-18}{-2}$$

Del -18-4\sqrt{30} på -2.

$$x=2\sqrt{30}+9$$

Ligningen er nå løst.

$$x=9-2\sqrt{30} x=2\sqrt{30}+9$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(x+14\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(x+11\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

Du finner den motsatte av x^{2}+22x+121 ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Kombiner x^{2} og -x^{2} for å få 0.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Kombiner 28x og -22x for å få 6x.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Trekk fra 121 fra 196 for å få 75.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(x-6\right)^{2}.

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

Trekk fra x^{2} fra begge sider.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

Legg til 12x på begge sider.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

Kombiner 6x og 12x for å få 18x.

$$18x+75-x^{2}=36$$

Trekk fra 75 fra begge sider.

$$18x-x^{2}=36-75$$

Trekk fra 75 fra 36 for å få -39.

$$18x-x^{2}=-39$$

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+18x=-39$$

Del begge sidene på -1.

$$\frac{-x^{2}+18x}{-1}=-\frac{39}{-1}$$

Hvis du deler på -1, gjør du om gangingen med -1.

$$x^{2}+\frac{18}{-1}x=-\frac{39}{-1}$$

Del 18 på -1.

$$x^{2}-18x=-\frac{39}{-1}$$

Del -39 på -1.

$$x^{2}-18x=39$$

Divider -18, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -9. Legg deretter til kvadratet av -9 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-18x+\left(-9\right)^{2}=39+\left(-9\right)^{2}$$

Kvadrer -9.

$$x^{2}-18x+81=39+81$$

Legg sammen 39 og 81.

$$x^{2}-18x+81=120$$

Faktoriser x^{2}-18x+81. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-9\right)^{2}=120$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-9\right)^{2}}=\sqrt{120}$$

Forenkle.

$$x-9=2\sqrt{30} x-9=-2\sqrt{30}$$

Legg til 9 på begge sider av ligningen.

$$x=2\sqrt{30}+9 x=9-2\sqrt{30}$$