Løs left(2x-3right)^2-left(x-5right)^2=-23

$${ \left(2x-3 \right) }^{ 2 } - { \left(x-5 \right) }^{ 2 } =-23$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3}\approx 0,333333333+1,490711985i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}\approx 0,333333333-1,490711985i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x-5\right)^{2}=-23$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}-10x+25\right)=-23$$

Du finner den motsatte av x^{2}-10x+25 ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}+10x-25=-23$$

Kombiner 4x^{2} og -x^{2} for å få 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9+10x-25=-23$$

Kombiner -12x og 10x for å få -2x.

$$3x^{2}-2x+9-25=-23$$

Trekk fra 25 fra 9 for å få -16.

$$3x^{2}-2x-16=-23$$

Legg til 23 på begge sider.

$$3x^{2}-2x-16+23=0$$

Legg sammen -16 og 23 for å få 7.

$$3x^{2}-2x+7=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, -2 for b og 7 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Kvadrer -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\times 7}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger 7.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-84}}{2\times 3}$$

Legg sammen 4 og -84.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-80}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av -80.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 3}$$

Det motsatte av -2 er 2.

$$x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{6} når ± er pluss. Legg sammen 2 og 4i\sqrt{5}.

$$x=\frac{2+4\sqrt{5}i}{6}$$

Del 2+4i\sqrt{5} på 6.

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{6} når ± er minus. Trekk fra 4i\sqrt{5} fra 2.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+2}{6}$$

Del 2-4i\sqrt{5} på 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x-5\right)^{2}=-23$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}-10x+25\right)=-23$$

Du finner den motsatte av x^{2}-10x+25 ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}+10x-25=-23$$

Kombiner 4x^{2} og -x^{2} for å få 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9+10x-25=-23$$

Kombiner -12x og 10x for å få -2x.

$$3x^{2}-2x+9-25=-23$$

Trekk fra 25 fra 9 for å få -16.

$$3x^{2}-2x-16=-23$$

Legg til 16 på begge sider.

$$3x^{2}-2x=-23+16$$

Legg sammen -23 og 16 for å få -7.

$$3x^{2}-2x=-7$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=-\frac{7}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Del -\frac{2}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{1}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{1}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{1}{9}$$

Legg sammen -\frac{7}{3} og \frac{1}{9} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{20}{9}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{20}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{20}{9}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{5}i}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{5}i}{3}$$

Legg til \frac{1}{3} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$