Løs left(2x-1right)^2-left(x+1right)^2=9

$${ \left(2x-1 \right) }^{ 2 } - { \left(x+1 \right) }^{ 2 } =9$$

Løs for x

$$x=-1$$

$$x=3$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(2x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}-4x+1-\left(x+1\right)^{2}=9$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}-4x+1-\left(x^{2}+2x+1\right)=9$$

Du finner den motsatte av x^{2}+2x+1 ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$4x^{2}-4x+1-x^{2}-2x-1=9$$

Kombiner 4x^{2} og -x^{2} for å få 3x^{2}.

$$3x^{2}-4x+1-2x-1=9$$

Kombiner -4x og -2x for å få -6x.

$$3x^{2}-6x+1-1=9$$

Trekk fra 1 fra 1 for å få 0.

$$3x^{2}-6x=9$$

Trekk fra 9 fra begge sider.

$$3x^{2}-6x-9=0$$

Del begge sidene på 3.

$$x^{2}-2x-3=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som x^{2}+ax+bx-3. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-2 ab=1\left(-3\right)=-3$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Det eneste paret er system løsningen.

$$a=-3 b=1$$

Skriv om x^{2}-2x-3 som \left(x^{2}-3x\right)+\left(x-3\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(x-3\right)$$

Faktorer ut x i x^{2}-3x.

$$x\left(x-3\right)+x-3$$

Faktorer ut det felles leddet x-3 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-3\right)\left(x+1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-3=0 og x+1=0.

$$x=3 x=-1$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(2x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}-4x+1-\left(x+1\right)^{2}=9$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}-4x+1-\left(x^{2}+2x+1\right)=9$$

Du finner den motsatte av x^{2}+2x+1 ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$4x^{2}-4x+1-x^{2}-2x-1=9$$

Kombiner 4x^{2} og -x^{2} for å få 3x^{2}.

$$3x^{2}-4x+1-2x-1=9$$

Kombiner -4x og -2x for å få -6x.

$$3x^{2}-6x+1-1=9$$

Trekk fra 1 fra 1 for å få 0.

$$3x^{2}-6x=9$$

Trekk fra 9 fra begge sider.

$$3x^{2}-6x-9=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, -6 for b og -9 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrer -6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger -9.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+108}}{2\times 3}$$

Legg sammen 36 og 108.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{144}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 144.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±12}{2\times 3}$$

Det motsatte av -6 er 6.

$$x=\frac{6±12}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{6±12}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{6±12}{6} når ± er pluss. Legg sammen 6 og 12.

$$x=\frac{18}{6}$$

Del 18 på 6.

$$x=3$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{6±12}{6} når ± er minus. Trekk fra 12 fra 6.

$$x=-\frac{6}{6}$$

Del -6 på 6.

$$x=-1$$

Ligningen er nå løst.

$$x=3 x=-1$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(2x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}-4x+1-\left(x+1\right)^{2}=9$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}-4x+1-\left(x^{2}+2x+1\right)=9$$

Du finner den motsatte av x^{2}+2x+1 ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$4x^{2}-4x+1-x^{2}-2x-1=9$$

Kombiner 4x^{2} og -x^{2} for å få 3x^{2}.

$$3x^{2}-4x+1-2x-1=9$$

Kombiner -4x og -2x for å få -6x.

$$3x^{2}-6x+1-1=9$$

Trekk fra 1 fra 1 for å få 0.

$$3x^{2}-6x=9$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}-6x}{3}=\frac{9}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{3}\right)x=\frac{9}{3}$$

Del -6 på 3.

$$x^{2}-2x=\frac{9}{3}$$

Del 9 på 3.

$$x^{2}-2x=3$$

Del -2, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -1. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -1 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-2x+1=3+1$$

Legg sammen 3 og 1.

$$x^{2}-2x+1=4$$

Faktoriser x^{2}-2x+1. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=4$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Forenkle.

$$x-1=2 x-1=-2$$

Legg til 1 på begge sider av ligningen.

$$x=3 x=-1$$