Løs {left(frac{sqrt{3}+1}{sqrt{3}-1}right)}^2

$${ \left( \frac{ \sqrt{ 3 } +1 }{ \sqrt{ 3 } -1 } \right) }^{ 2 }$$

Evaluer

$$4\sqrt{3}+7\approx 13,92820323$$

Løsningstrinn

Gjør nevneren til \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} til et rasjonalt tall ved å multiplisere telleren og nevneren med \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Vurder \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). Multiplikasjon kan forvandles til differansen av kvadratene ved hjelp av regelen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Kvadrer \sqrt{3}. Kvadrer 1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Trekk fra 1 fra 3 for å få 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Multipliser \sqrt{3}+1 med \sqrt{3}+1 for å få \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Kvadratrota av \sqrt{3} er 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Legg sammen 3 og 1 for å få 4.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Del hvert ledd av 4+2\sqrt{3} på 2 for å få 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Kvadratrota av \sqrt{3} er 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Legg sammen 4 og 3 for å få 7.

$$7+4\sqrt{3}$$

Utvid

$$4 \sqrt{3} + 7 = 13,92820323$$

Løsningstrinn

Gjør nevneren til \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} til et rasjonalt tall ved å multiplisere telleren og nevneren med \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Vurder \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). Multiplikasjon kan forvandles til differansen av kvadratene ved hjelp av regelen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Kvadrer \sqrt{3}. Kvadrer 1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Trekk fra 1 fra 3 for å få 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Multipliser \sqrt{3}+1 med \sqrt{3}+1 for å få \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Kvadratrota av \sqrt{3} er 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Legg sammen 3 og 1 for å få 4.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Del hvert ledd av 4+2\sqrt{3} på 2 for å få 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Kvadratrota av \sqrt{3} er 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Legg sammen 4 og 3 for å få 7.

$$7+4\sqrt{3}$$