Løs sqrt{2x-3}=2+sqrt{x-5}

$$\sqrt{ 2x-3 } = 2+ \sqrt{ x-5 }$$

Løs for x

$$x=14$$

$$x=6$$

Løsningstrinn

Kvadrer begge sider av ligningen.

$$\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{2x-3} opphøyd i 2 og få 2x-3.

$$2x-3=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{x-5} opphøyd i 2 og få x-5.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+x-5$$

Trekk fra 5 fra 4 for å få -1.

$$2x-3=-1+4\sqrt{x-5}+x$$

Trekk fra -1+x fra begge sider av ligningen.

$$2x-3-\left(-1+x\right)=4\sqrt{x-5}$$

Du finner den motsatte av -1+x ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$2x-3+1-x=4\sqrt{x-5}$$

Legg sammen -3 og 1 for å få -2.

$$2x-2-x=4\sqrt{x-5}$$

Kombiner 2x og -x for å få x.

$$x-2=4\sqrt{x-5}$$

Kvadrer begge sider av ligningen.

$$\left(x-2\right)^{2}=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Utvid \left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=4^{2}\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Regn ut 4 opphøyd i 2 og få 16.

$$x^{2}-4x+4=16\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{x-5} opphøyd i 2 og få x-5.

$$x^{2}-4x+4=16\left(x-5\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 16 med x-5.

$$x^{2}-4x+4=16x-80$$

Trekk fra 16x fra begge sider.

$$x^{2}-4x+4-16x=-80$$

Kombiner -4x og -16x for å få -20x.

$$x^{2}-20x+4=-80$$

Legg til 80 på begge sider.

$$x^{2}-20x+4+80=0$$

Legg sammen 4 og 80 for å få 84.

$$x^{2}-20x+84=0$$

Hvis du vil løse formelen, faktor x^{2}-20x+84 å bruke formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-20 ab=84$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 84.

$$-1,-84 -2,-42 -3,-28 -4,-21 -6,-14 -7,-12$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-84=-85 -2-42=-44 -3-28=-31 -4-21=-25 -6-14=-20 -7-12=-19$$

Løsningen er paret som gir Summer -20.

$$a=-14 b=-6$$

Skriv om det faktoriserte uttrykket \left(x+a\right)\left(x+b\right) ved hjelp av de oppnådde verdiene.

$$\left(x-14\right)\left(x-6\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-14=0 og x-6=0.

$$x=14 x=6$$

Erstatt 14 med x i ligningen \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5}.

$$\sqrt{2\times 14-3}=2+\sqrt{14-5}$$

Forenkle. Verdien x=14 tilfredsstiller ligningen.

$$5=5$$

Erstatt 6 med x i ligningen \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5}.

$$\sqrt{2\times 6-3}=2+\sqrt{6-5}$$

Forenkle. Verdien x=6 tilfredsstiller ligningen.

$$3=3$$

Vis alle løsninger på \sqrt{2x-3}=\sqrt{x-5}+2.

$$x=14 x=6$$