Løs sqrt{1-x}+sqrt{1+x}=sqrt{2}

$$\sqrt{ 1-x } + \sqrt{ 1+x } = \sqrt{ 2 }$$

Løs for x

$$x=1$$

$$x=-1$$

Løsningstrinn

Trekk fra \sqrt{1+x} fra begge sider av ligningen.

$$\sqrt{1-x}=\sqrt{2}-\sqrt{1+x}$$

Kvadrer begge sider av ligningen.

$$\left(\sqrt{1-x}\right)^{2}=\left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{1-x} opphøyd i 2 og få 1-x.

$$1-x=\left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}.

$$1-x=\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Kvadratrota av \sqrt{2} er 2.

$$1-x=2-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{1+x} opphøyd i 2 og få 1+x.

$$1-x=2-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+1+x$$

Legg sammen 2 og 1 for å få 3.

$$1-x=3-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+x$$

Trekk fra 3+x fra begge sider av ligningen.

$$1-x-\left(3+x\right)=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Du finner den motsatte av 3+x ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$1-x-3-x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Trekk fra 3 fra 1 for å få -2.

$$-2-x-x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Kombiner -x og -x for å få -2x.

$$-2-2x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Kvadrer begge sider av ligningen.

$$\left(-2-2x\right)^{2}=\left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(-2-2x\right)^{2}.

$$4+8x+4x^{2}=\left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Utvid \left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}.

$$4+8x+4x^{2}=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Regn ut -2 opphøyd i 2 og få 4.

$$4+8x+4x^{2}=4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Kvadratrota av \sqrt{2} er 2.

$$4+8x+4x^{2}=4\times 2\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Multipliser 4 med 2 for å få 8.

$$4+8x+4x^{2}=8\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{1+x} opphøyd i 2 og få 1+x.

$$4+8x+4x^{2}=8\left(1+x\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 8 med 1+x.

$$4+8x+4x^{2}=8+8x$$

Trekk fra 8 fra begge sider.

$$4+8x+4x^{2}-8=8x$$

Trekk fra 8 fra 4 for å få -4.

$$-4+8x+4x^{2}=8x$$

Trekk fra 8x fra begge sider.

$$-4+8x+4x^{2}-8x=0$$

Kombiner 8x og -8x for å få 0.

$$-4+4x^{2}=0$$

Del begge sidene på 4.

$$-1+x^{2}=0$$

Vurder -1+x^{2}. Skriv om -1+x^{2} som x^{2}-1^{2}. Differansen av kvadratene kan beregnes ved hjelp av regelen: a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right).

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-1=0 og x+1=0.

$$x=1 x=-1$$

Erstatt 1 med x i ligningen \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=\sqrt{2}.

$$\sqrt{1-1}+\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$$

Forenkle. Verdien x=1 tilfredsstiller ligningen.

$$2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}$$

Erstatt -1 med x i ligningen \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=\sqrt{2}.

$$\sqrt{1-\left(-1\right)}+\sqrt{1-1}=\sqrt{2}$$

Forenkle. Verdien x=-1 tilfredsstiller ligningen.

$$2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}$$

Vis alle løsninger på \sqrt{1-x}=-\sqrt{x+1}+\sqrt{2}.

$$x=1 x=-1$$