Løs sqrt{1div2+1div4+1div8+1div16+1div2x}=x

$$\sqrt{ 1 \div 2+1 \div 4+1 \div 8+1 \div 16+1 \div 2x } =x$$

Løs for x

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Løsningstrinn

Kvadrer begge sider av ligningen.

$$\left(\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Minste felles multiplum av 2 og 4 er 4. Konverter \frac{1}{2} og \frac{1}{4} til brøker med nevner 4.

$$\left(\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Siden \frac{2}{4} og \frac{1}{4} har samme nevner, kan du legge dem sammen ved å legge sammen tellerne.

$$\left(\sqrt{\frac{2+1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Legg sammen 2 og 1 for å få 3.

$$\left(\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Minste felles multiplum av 4 og 8 er 8. Konverter \frac{3}{4} og \frac{1}{8} til brøker med nevner 8.

$$\left(\sqrt{\frac{6}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Siden \frac{6}{8} og \frac{1}{8} har samme nevner, kan du legge dem sammen ved å legge sammen tellerne.

$$\left(\sqrt{\frac{6+1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Legg sammen 6 og 1 for å få 7.

$$\left(\sqrt{\frac{7}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Minste felles multiplum av 8 og 16 er 16. Konverter \frac{7}{8} og \frac{1}{16} til brøker med nevner 16.

$$\left(\sqrt{\frac{14}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Siden \frac{14}{16} og \frac{1}{16} har samme nevner, kan du legge dem sammen ved å legge sammen tellerne.

$$\left(\sqrt{\frac{14+1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Legg sammen 14 og 1 for å få 15.

$$\left(\sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Regn ut \sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x} opphøyd i 2 og få \frac{15}{16}+\frac{1}{2}x.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x=x^{2}$$

Trekk fra x^{2} fra begge sider.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x-x^{2}=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{15}{16}=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -1 for a, \frac{1}{2} for b og \frac{15}{16} for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrer \frac{1}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser -4 ganger -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}+4\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 4 ganger \frac{15}{16}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1+15}{4}}}{2\left(-1\right)}$$

Legg sammen \frac{1}{4} og \frac{15}{4} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{4}}{2\left(-1\right)}$$

Ta kvadratroten av 4.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 2 ganger -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2} når ± er pluss. Legg sammen -\frac{1}{2} og 2.

$$x=\frac{\frac{3}{2}}{-2}$$

Del \frac{3}{2} på -2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2} når ± er minus. Trekk fra 2 fra -\frac{1}{2}.

$$x=-\frac{\frac{5}{2}}{-2}$$

Del -\frac{5}{2} på -2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=-\frac{3}{4} x=\frac{5}{4}$$

Erstatt -\frac{3}{4} med x i ligningen \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)}=-\frac{3}{4}$$

Forenkle. Verdien x=-\frac{3}{4} oppfyller ikke formelen fordi venstre og høyre side har motsatte tegn.

$$\frac{3}{4}=-\frac{3}{4}$$

Erstatt \frac{5}{4} med x i ligningen \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\times \frac{5}{4}}=\frac{5}{4}$$

Forenkle. Verdien x=\frac{5}{4} tilfredsstiller ligningen.

$$\frac{5}{4}=\frac{5}{4}$$

Ligningen \sqrt{\frac{x}{2}+\frac{15}{16}}=x har en unik løsning.

$$x=\frac{5}{4}$$