Løs sqrt{x-1}-2=2sqrt{x+3}

$$\sqrt { x - 1 } - 2 = 2 \sqrt { x + 3 }$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}\approx -2,111111111-2,514157444i$$

Løsningstrinn

Kvadrer begge sider av ligningen.

$$\left(\sqrt{x-1}-2\right)^{2}=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(\sqrt{x-1}-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}-4\sqrt{x-1}+4=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{x-1} opphøyd i 2 og få x-1.

$$x-1-4\sqrt{x-1}+4=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Legg sammen -1 og 4 for å få 3.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Utvid \left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=2^{2}\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Regn ut 2 opphøyd i 2 og få 4.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=4\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{x+3} opphøyd i 2 og få x+3.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=4\left(x+3\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 4 med x+3.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=4x+12$$

Trekk fra x+3 fra begge sider av ligningen.

$$-4\sqrt{x-1}=4x+12-\left(x+3\right)$$

Du finner den motsatte av x+3 ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$-4\sqrt{x-1}=4x+12-x-3$$

Kombiner 4x og -x for å få 3x.

$$-4\sqrt{x-1}=3x+12-3$$

Trekk fra 3 fra 12 for å få 9.

$$-4\sqrt{x-1}=3x+9$$

Kvadrer begge sider av ligningen.

$$\left(-4\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x+9\right)^{2}$$

Utvid \left(-4\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x+9\right)^{2}$$

Regn ut -4 opphøyd i 2 og få 16.

$$16\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x+9\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{x-1} opphøyd i 2 og få x-1.

$$16\left(x-1\right)=\left(3x+9\right)^{2}$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 16 med x-1.

$$16x-16=\left(3x+9\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(3x+9\right)^{2}.

$$16x-16=9x^{2}+54x+81$$

Trekk fra 9x^{2} fra begge sider.

$$16x-16-9x^{2}=54x+81$$

Trekk fra 54x fra begge sider.

$$16x-16-9x^{2}-54x=81$$

Kombiner 16x og -54x for å få -38x.

$$-38x-16-9x^{2}=81$$

Trekk fra 81 fra begge sider.

$$-38x-16-9x^{2}-81=0$$

Trekk fra 81 fra -16 for å få -97.

$$-38x-97-9x^{2}=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-9x^{2}-38x-97=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -9 for a, -38 for b og -97 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{\left(-38\right)^{2}-4\left(-9\right)\left(-97\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Kvadrer -38.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-4\left(-9\right)\left(-97\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Multipliser -4 ganger -9.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444+36\left(-97\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Multipliser 36 ganger -97.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-3492}}{2\left(-9\right)}$$

Legg sammen 1444 og -3492.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{-2048}}{2\left(-9\right)}$$

Ta kvadratroten av -2048.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±32\sqrt{2}i}{2\left(-9\right)}$$

Det motsatte av -38 er 38.

$$x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{2\left(-9\right)}$$

Multipliser 2 ganger -9.

$$x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{-18}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{-18} når ± er pluss. Legg sammen 38 og 32i\sqrt{2}.

$$x=\frac{38+32\sqrt{2}i}{-18}$$

Del 38+32i\sqrt{2} på -18.

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{-18} når ± er minus. Trekk fra 32i\sqrt{2} fra 38.

$$x=\frac{-32\sqrt{2}i+38}{-18}$$

Del 38-32i\sqrt{2} på -18.

$$x=\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} x=\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}$$

Erstatt \frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} med x i ligningen \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}-1}-2=2\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}+3}$$

Forenkle. Verdien x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} tilfredsstiller ligningen.

$$-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}=-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Erstatt \frac{-19+16\sqrt{2}i}{9} med x i ligningen \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}-1}-2=2\sqrt{\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}+3}$$

Forenkle. Verdien x=\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9} oppfyller ikke formelen.

$$-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}=\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Erstatt \frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} med x i ligningen \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}-1}-2=2\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}+3}$$

Forenkle. Verdien x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} tilfredsstiller ligningen.

$$-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}=-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Ligningen \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3} har en unik løsning.

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}$$