Løs sqrt{x-1}=x

$$\sqrt { x - 1 } = x$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\approx 0,5+0,866025404i$$

Løsningstrinn

Kvadrer begge sider av ligningen.

$$\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=x^{2}$$

Regn ut \sqrt{x-1} opphøyd i 2 og få x-1.

$$x-1=x^{2}$$

Trekk fra x^{2} fra begge sider.

$$x-1-x^{2}=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-x^{2}+x-1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -1 for a, 1 for b og -1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrer 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser -4 ganger -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 4 ganger -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4}}{2\left(-1\right)}$$

Legg sammen 1 og -4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2\left(-1\right)}$$

Ta kvadratroten av -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 2 ganger -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{-2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{-2} når ± er pluss. Legg sammen -1 og i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{-2}$$

Del -1+i\sqrt{3} på -2.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{-2} når ± er minus. Trekk fra i\sqrt{3} fra -1.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{-2}$$

Del -1-i\sqrt{3} på -2.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2} x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

Erstatt \frac{-\sqrt{3}i+1}{2} med x i ligningen \sqrt{x-1}=x.

$$\sqrt{\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}-1}=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Forenkle. Verdien x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2} oppfyller ikke formelen.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}\right)=-\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Erstatt \frac{1+\sqrt{3}i}{2} med x i ligningen \sqrt{x-1}=x.

$$\sqrt{\frac{1+\sqrt{3}i}{2}-1}=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

Forenkle. Verdien x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} tilfredsstiller ligningen.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}$$

Ligningen \sqrt{x-1}=x har en unik løsning.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$