Løs sqrt{x^2-1}=sqrt{2x+1}

$$\sqrt { x ^ { 2 } - 1 } = \sqrt { 2 x + 1 }$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

$$x=1-\sqrt{3}\approx -0,732050808$$

Løsningstrinn

Kvadrer begge sider av ligningen.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{x^{2}-1} opphøyd i 2 og få x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{2x+1} opphøyd i 2 og få 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Trekk fra 2x fra begge sider.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Trekk fra 1 fra begge sider.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Trekk fra 1 fra -1 for å få -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, -2 for b og -2 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Kvadrer -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Multipliser -4 ganger -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Legg sammen 4 og 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Ta kvadratroten av 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Det motsatte av -2 er 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} når ± er pluss. Legg sammen 2 og 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Del 2+2\sqrt{3} på 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} når ± er minus. Trekk fra 2\sqrt{3} fra 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Del 2-2\sqrt{3} på 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Erstatt \sqrt{3}+1 med x i ligningen \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Forenkle. Verdien x=\sqrt{3}+1 tilfredsstiller ligningen.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Erstatt 1-\sqrt{3} med x i ligningen \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Forenkle. Verdien x=1-\sqrt{3} tilfredsstiller ligningen.

$$i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}$$

Vis alle løsninger på \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Løs for x

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

Løsningstrinn

Kvadrer begge sider av ligningen.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{x^{2}-1} opphøyd i 2 og få x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{2x+1} opphøyd i 2 og få 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Trekk fra 2x fra begge sider.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Trekk fra 1 fra begge sider.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Trekk fra 1 fra -1 for å få -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, -2 for b og -2 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Kvadrer -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Multipliser -4 ganger -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Legg sammen 4 og 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Ta kvadratroten av 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Det motsatte av -2 er 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} når ± er pluss. Legg sammen 2 og 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Del 2+2\sqrt{3} på 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} når ± er minus. Trekk fra 2\sqrt{3} fra 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Del 2-2\sqrt{3} på 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Erstatt \sqrt{3}+1 med x i ligningen \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Forenkle. Verdien x=\sqrt{3}+1 tilfredsstiller ligningen.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Erstatt 1-\sqrt{3} med x i ligningen \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}. Uttrykket \sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1} er ikke definert fordi radikand ikke kan være negativ.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Ligningen \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} har en unik løsning.

$$x=\sqrt{3}+1$$