Løs sqrt{x^2+2x+10}=2x

$$\sqrt { x ^ { 2 } + 2 x + 10 } = 2 x$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{31} + 1}{3} \approx 2,189254788$$

Løsningstrinn

Kvadrer begge sider av ligningen.

$$\left(\sqrt{x^{2}+2x+10}\right)^{2}=\left(2x\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{x^{2}+2x+10} opphøyd i 2 og få x^{2}+2x+10.

$$x^{2}+2x+10=\left(2x\right)^{2}$$

Utvid \left(2x\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+10=2^{2}x^{2}$$

Regn ut 2 opphøyd i 2 og få 4.

$$x^{2}+2x+10=4x^{2}$$

Trekk fra 4x^{2} fra begge sider.

$$x^{2}+2x+10-4x^{2}=0$$

Kombiner x^{2} og -4x^{2} for å få -3x^{2}.

$$-3x^{2}+2x+10=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -3 for a, 2 for b og 10 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-3\right)\times 10}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrer 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-3\right)\times 10}}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser -4 ganger -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+12\times 10}}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser 12 ganger 10.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+120}}{2\left(-3\right)}$$

Legg sammen 4 og 120.

$$x=\frac{-2±\sqrt{124}}{2\left(-3\right)}$$

Ta kvadratroten av 124.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{2\left(-3\right)}$$

Multipliser 2 ganger -3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{-6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{-6} når ± er pluss. Legg sammen -2 og 2\sqrt{31}.

$$x=\frac{2\sqrt{31}-2}{-6}$$

Del -2+2\sqrt{31} på -6.

$$x=\frac{1-\sqrt{31}}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{-6} når ± er minus. Trekk fra 2\sqrt{31} fra -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{31}-2}{-6}$$

Del -2-2\sqrt{31} på -6.

$$x=\frac{\sqrt{31}+1}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{1-\sqrt{31}}{3} x=\frac{\sqrt{31}+1}{3}$$

Erstatt \frac{1-\sqrt{31}}{3} med x i ligningen \sqrt{x^{2}+2x+10}=2x.

$$\sqrt{\left(\frac{1-\sqrt{31}}{3}\right)^{2}+2\times \frac{1-\sqrt{31}}{3}+10}=2\times \frac{1-\sqrt{31}}{3}$$

Forenkle. Verdien x=\frac{1-\sqrt{31}}{3} oppfyller ikke formelen fordi venstre og høyre side har motsatte tegn.

$$\frac{2}{3}\times 31^{\frac{1}{2}}-\frac{2}{3}=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}\times 31^{\frac{1}{2}}$$

Erstatt \frac{\sqrt{31}+1}{3} med x i ligningen \sqrt{x^{2}+2x+10}=2x.

$$\sqrt{\left(\frac{\sqrt{31}+1}{3}\right)^{2}+2\times \frac{\sqrt{31}+1}{3}+10}=2\times \frac{\sqrt{31}+1}{3}$$

Forenkle. Verdien x=\frac{\sqrt{31}+1}{3} tilfredsstiller ligningen.

$$\frac{2}{3}\times 31^{\frac{1}{2}}+\frac{2}{3}=\frac{2}{3}\times 31^{\frac{1}{2}}+\frac{2}{3}$$

Ligningen \sqrt{x^{2}+2x+10}=2x har en unik løsning.

$$x=\frac{\sqrt{31}+1}{3}$$