Løs sqrt{x+7}+sqrt{x+2}=sqrt{18x}

$$\sqrt { x + 7 } + \sqrt { x + 2 } = \sqrt { 18 x }$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{554} + 27}{42} \approx 1,203266776$$

Løsningstrinn

Kvadrer begge sider av ligningen.

$$\left(\sqrt{x+7}+\sqrt{x+2}\right)^{2}=\left(\sqrt{18x}\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(\sqrt{x+7}+\sqrt{x+2}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x+7}\right)^{2}+2\sqrt{x+7}\sqrt{x+2}+\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}=\left(\sqrt{18x}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{x+7} opphøyd i 2 og få x+7.

$$x+7+2\sqrt{x+7}\sqrt{x+2}+\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}=\left(\sqrt{18x}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{x+2} opphøyd i 2 og få x+2.

$$x+7+2\sqrt{x+7}\sqrt{x+2}+x+2=\left(\sqrt{18x}\right)^{2}$$

Kombiner x og x for å få 2x.

$$2x+7+2\sqrt{x+7}\sqrt{x+2}+2=\left(\sqrt{18x}\right)^{2}$$

Legg sammen 7 og 2 for å få 9.

$$2x+9+2\sqrt{x+7}\sqrt{x+2}=\left(\sqrt{18x}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{18x} opphøyd i 2 og få 18x.

$$2x+9+2\sqrt{x+7}\sqrt{x+2}=18x$$

Trekk fra 2x+9 fra begge sider av ligningen.

$$2\sqrt{x+7}\sqrt{x+2}=18x-\left(2x+9\right)$$

Du finner den motsatte av 2x+9 ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$2\sqrt{x+7}\sqrt{x+2}=18x-2x-9$$

Kombiner 18x og -2x for å få 16x.

$$2\sqrt{x+7}\sqrt{x+2}=16x-9$$

Kvadrer begge sider av ligningen.

$$\left(2\sqrt{x+7}\sqrt{x+2}\right)^{2}=\left(16x-9\right)^{2}$$

Utvid \left(2\sqrt{x+7}\sqrt{x+2}\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{x+7}\right)^{2}\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}=\left(16x-9\right)^{2}$$

Regn ut 2 opphøyd i 2 og få 4.

$$4\left(\sqrt{x+7}\right)^{2}\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}=\left(16x-9\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{x+7} opphøyd i 2 og få x+7.

$$4\left(x+7\right)\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}=\left(16x-9\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{x+2} opphøyd i 2 og få x+2.

$$4\left(x+7\right)\left(x+2\right)=\left(16x-9\right)^{2}$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 4 med x+7.

$$\left(4x+28\right)\left(x+2\right)=\left(16x-9\right)^{2}$$

Bruk den distributive lov ved å multiplisere hvert ledd i 4x+28 med hvert ledd i x+2.

$$4x^{2}+8x+28x+56=\left(16x-9\right)^{2}$$

Kombiner 8x og 28x for å få 36x.

$$4x^{2}+36x+56=\left(16x-9\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(16x-9\right)^{2}.

$$4x^{2}+36x+56=256x^{2}-288x+81$$

Trekk fra 256x^{2} fra begge sider.

$$4x^{2}+36x+56-256x^{2}=-288x+81$$

Kombiner 4x^{2} og -256x^{2} for å få -252x^{2}.

$$-252x^{2}+36x+56=-288x+81$$

Legg til 288x på begge sider.

$$-252x^{2}+36x+56+288x=81$$

Kombiner 36x og 288x for å få 324x.

$$-252x^{2}+324x+56=81$$

Trekk fra 81 fra begge sider.

$$-252x^{2}+324x+56-81=0$$

Trekk fra 81 fra 56 for å få -25.

$$-252x^{2}+324x-25=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -252 for a, 324 for b og -25 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-324±\sqrt{324^{2}-4\left(-252\right)\left(-25\right)}}{2\left(-252\right)}$$

Kvadrer 324.

$$x=\frac{-324±\sqrt{104976-4\left(-252\right)\left(-25\right)}}{2\left(-252\right)}$$

Multipliser -4 ganger -252.

$$x=\frac{-324±\sqrt{104976+1008\left(-25\right)}}{2\left(-252\right)}$$

Multipliser 1008 ganger -25.

$$x=\frac{-324±\sqrt{104976-25200}}{2\left(-252\right)}$$

Legg sammen 104976 og -25200.

$$x=\frac{-324±\sqrt{79776}}{2\left(-252\right)}$$

Ta kvadratroten av 79776.

$$x=\frac{-324±12\sqrt{554}}{2\left(-252\right)}$$

Multipliser 2 ganger -252.

$$x=\frac{-324±12\sqrt{554}}{-504}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-324±12\sqrt{554}}{-504} når ± er pluss. Legg sammen -324 og 12\sqrt{554}.

$$x=\frac{12\sqrt{554}-324}{-504}$$

Del -324+12\sqrt{554} på -504.

$$x=-\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-324±12\sqrt{554}}{-504} når ± er minus. Trekk fra 12\sqrt{554} fra -324.

$$x=\frac{-12\sqrt{554}-324}{-504}$$

Del -324-12\sqrt{554} på -504.

$$x=\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=-\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14} x=\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14}$$

Erstatt -\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14} med x i ligningen \sqrt{x+7}+\sqrt{x+2}=\sqrt{18x}.

$$\sqrt{-\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14}+7}+\sqrt{-\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14}+2}=\sqrt{18\left(-\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14}\right)}$$

Forenkle. Verdien x=-\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14} oppfyller ikke formelen.

$$\left(-\frac{1}{42}\times 554^{\frac{1}{2}}+\frac{107}{14}\right)^{\frac{1}{2}}+\left(-\frac{1}{42}\times 554^{\frac{1}{2}}+\frac{37}{14}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(-\frac{3}{7}\times 554^{\frac{1}{2}}+\frac{81}{7}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Erstatt \frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14} med x i ligningen \sqrt{x+7}+\sqrt{x+2}=\sqrt{18x}.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14}+7}+\sqrt{\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14}+2}=\sqrt{18\left(\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14}\right)}$$

Forenkle. Verdien x=\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14} tilfredsstiller ligningen.

$$\left(\frac{1}{42}\times 554^{\frac{1}{2}}+\frac{107}{14}\right)^{\frac{1}{2}}+\left(\frac{1}{42}\times 554^{\frac{1}{2}}+\frac{37}{14}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\frac{3}{7}\times 554^{\frac{1}{2}}+\frac{81}{7}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Ligningen \sqrt{x+2}+\sqrt{x+7}=\sqrt{18x} har en unik løsning.

$$x=\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14}$$