Løs sqrt{x+3}-sqrt{3x-2}=1

$$\sqrt { x + 3 } - \sqrt { 3 x - 2 } = 1$$

Løs for x

$$x=1$$

Løsningstrinn

Trekk fra -\sqrt{3x-2} fra begge sider av ligningen.

$$\sqrt{x+3}=1+\sqrt{3x-2}$$

Kvadrer begge sider av ligningen.

$$\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{x+3} opphøyd i 2 og få x+3.

$$x+3=\left(1+\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(1+\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$x+3=1+2\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{3x-2} opphøyd i 2 og få 3x-2.

$$x+3=1+2\sqrt{3x-2}+3x-2$$

Trekk fra 2 fra 1 for å få -1.

$$x+3=-1+2\sqrt{3x-2}+3x$$

Trekk fra -1+3x fra begge sider av ligningen.

$$x+3-\left(-1+3x\right)=2\sqrt{3x-2}$$

Du finner den motsatte av -1+3x ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$x+3+1-3x=2\sqrt{3x-2}$$

Legg sammen 3 og 1 for å få 4.

$$x+4-3x=2\sqrt{3x-2}$$

Kombiner x og -3x for å få -2x.

$$-2x+4=2\sqrt{3x-2}$$

Kvadrer begge sider av ligningen.

$$\left(-2x+4\right)^{2}=\left(2\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(-2x+4\right)^{2}.

$$4x^{2}-16x+16=\left(2\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

Utvid \left(2\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$4x^{2}-16x+16=2^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

Regn ut 2 opphøyd i 2 og få 4.

$$4x^{2}-16x+16=4\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{3x-2} opphøyd i 2 og få 3x-2.

$$4x^{2}-16x+16=4\left(3x-2\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 4 med 3x-2.

$$4x^{2}-16x+16=12x-8$$

Trekk fra 12x fra begge sider.

$$4x^{2}-16x+16-12x=-8$$

Kombiner -16x og -12x for å få -28x.

$$4x^{2}-28x+16=-8$$

Legg til 8 på begge sider.

$$4x^{2}-28x+16+8=0$$

Legg sammen 16 og 8 for å få 24.

$$4x^{2}-28x+24=0$$

Del begge sidene på 4.

$$x^{2}-7x+6=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som x^{2}+ax+bx+6. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-7 ab=1\times 6=6$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 6.

$$-1,-6 -2,-3$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-6=-7 -2-3=-5$$

Løsningen er paret som gir Summer -7.

$$a=-6 b=-1$$

Skriv om x^{2}-7x+6 som \left(x^{2}-6x\right)+\left(-x+6\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(-x+6\right)$$

Faktor ut x i den første og -1 i den andre gruppen.

$$x\left(x-6\right)-\left(x-6\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-6 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-6\right)\left(x-1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-6=0 og x-1=0.

$$x=6 x=1$$

Erstatt 6 med x i ligningen \sqrt{x+3}-\sqrt{3x-2}=1.

$$\sqrt{6+3}-\sqrt{3\times 6-2}=1$$

Forenkle. Verdien x=6 oppfyller ikke formelen fordi venstre og høyre side har motsatte tegn.

$$-1=1$$

Erstatt 1 med x i ligningen \sqrt{x+3}-\sqrt{3x-2}=1.

$$\sqrt{1+3}-\sqrt{3\times 1-2}=1$$

Forenkle. Verdien x=1 tilfredsstiller ligningen.

$$1=1$$

Ligningen \sqrt{x+3}=\sqrt{3x-2}+1 har en unik løsning.

$$x=1$$