Løs sqrt{x+3}+sqrt{x+6}=sqrt{x+11}

$$\sqrt { x + 3 } + \sqrt { x + 6 } = \sqrt { x + 11 }$$

Løs for x

$$x=-2$$

Løsningstrinn

Kvadrer begge sider av ligningen.

$$\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{x+3} opphøyd i 2 og få x+3.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{x+6} opphøyd i 2 og få x+6.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+x+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Kombiner x og x for å få 2x.

$$2x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Legg sammen 3 og 6 for å få 9.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{x+11} opphøyd i 2 og få x+11.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11$$

Trekk fra 2x+9 fra begge sider av ligningen.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-\left(2x+9\right)$$

Du finner den motsatte av 2x+9 ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-2x-9$$

Kombiner x og -2x for å få -x.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+11-9$$

Trekk fra 9 fra 11 for å få 2.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+2$$

Kvadrer begge sider av ligningen.

$$\left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Utvid \left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Regn ut 2 opphøyd i 2 og få 4.

$$4\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{x+3} opphøyd i 2 og få x+3.

$$4\left(x+3\right)\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{x+6} opphøyd i 2 og få x+6.

$$4\left(x+3\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 4 med x+3.

$$\left(4x+12\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Bruk den distributive lov ved å multiplisere hvert ledd i 4x+12 med hvert ledd i x+6.

$$4x^{2}+24x+12x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

Kombiner 24x og 12x for å få 36x.

$$4x^{2}+36x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(-x+2\right)^{2}.

$$4x^{2}+36x+72=x^{2}-4x+4$$

Trekk fra x^{2} fra begge sider.

$$4x^{2}+36x+72-x^{2}=-4x+4$$

Kombiner 4x^{2} og -x^{2} for å få 3x^{2}.

$$3x^{2}+36x+72=-4x+4$$

Legg til 4x på begge sider.

$$3x^{2}+36x+72+4x=4$$

Kombiner 36x og 4x for å få 40x.

$$3x^{2}+40x+72=4$$

Trekk fra 4 fra begge sider.

$$3x^{2}+40x+72-4=0$$

Trekk fra 4 fra 72 for å få 68.

$$3x^{2}+40x+68=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 3x^{2}+ax+bx+68. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=40 ab=3\times 68=204$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 204.

$$1,204 2,102 3,68 4,51 6,34 12,17$$

Beregn summen for hvert par.

$$1+204=205 2+102=104 3+68=71 4+51=55 6+34=40 12+17=29$$

Løsningen er paret som gir Summer 40.

$$a=6 b=34$$

Skriv om 3x^{2}+40x+68 som \left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right).

$$\left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right)$$

Faktor ut 3x i den første og 34 i den andre gruppen.

$$3x\left(x+2\right)+34\left(x+2\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x+2 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x+2\right)\left(3x+34\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x+2=0 og 3x+34=0.

$$x=-2 x=-\frac{34}{3}$$

Erstatt -\frac{34}{3} med x i ligningen \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}. Uttrykket \sqrt{-\frac{34}{3}+3} er ikke definert fordi radikand ikke kan være negativ.

$$\sqrt{-\frac{34}{3}+3}+\sqrt{-\frac{34}{3}+6}=\sqrt{-\frac{34}{3}+11}$$

Erstatt -2 med x i ligningen \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}.

$$\sqrt{-2+3}+\sqrt{-2+6}=\sqrt{-2+11}$$

Forenkle. Verdien x=-2 tilfredsstiller ligningen.

$$3=3$$

Ligningen \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11} har en unik løsning.

$$x=-2$$