Løs sqrt{5x-1}-sqrt{3x-2}=sqrt{x-1}

$$\sqrt { 5 x - 1 } - \sqrt { 3 x - 2 } = \sqrt { x - 1 }$$

Løs for x

$$x=2$$

Løsningstrinn

Kvadrer begge sider av ligningen.

$$\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{5x-1} opphøyd i 2 og få 5x-1.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{3x-2} opphøyd i 2 og få 3x-2.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+3x-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Kombiner 5x og 3x for å få 8x.

$$8x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Trekk fra 2 fra -1 for å få -3.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{x-1} opphøyd i 2 og få x-1.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1$$

Trekk fra 8x-3 fra begge sider av ligningen.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-\left(8x-3\right)$$

Du finner den motsatte av 8x-3 ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-8x+3$$

Kombiner x og -8x for å få -7x.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x-1+3$$

Legg sammen -1 og 3 for å få 2.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x+2$$

Kvadrer begge sider av ligningen.

$$\left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Utvid \left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Regn ut -2 opphøyd i 2 og få 4.

$$4\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{5x-1} opphøyd i 2 og få 5x-1.

$$4\left(5x-1\right)\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{3x-2} opphøyd i 2 og få 3x-2.

$$4\left(5x-1\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 4 med 5x-1.

$$\left(20x-4\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Bruk den distributive lov ved å multiplisere hvert ledd i 20x-4 med hvert ledd i 3x-2.

$$60x^{2}-40x-12x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Kombiner -40x og -12x for å få -52x.

$$60x^{2}-52x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(-7x+2\right)^{2}.

$$60x^{2}-52x+8=49x^{2}-28x+4$$

Trekk fra 49x^{2} fra begge sider.

$$60x^{2}-52x+8-49x^{2}=-28x+4$$

Kombiner 60x^{2} og -49x^{2} for å få 11x^{2}.

$$11x^{2}-52x+8=-28x+4$$

Legg til 28x på begge sider.

$$11x^{2}-52x+8+28x=4$$

Kombiner -52x og 28x for å få -24x.

$$11x^{2}-24x+8=4$$

Trekk fra 4 fra begge sider.

$$11x^{2}-24x+8-4=0$$

Trekk fra 4 fra 8 for å få 4.

$$11x^{2}-24x+4=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 11x^{2}+ax+bx+4. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-24 ab=11\times 4=44$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 44.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

Løsningen er paret som gir Summer -24.

$$a=-22 b=-2$$

Skriv om 11x^{2}-24x+4 som \left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Faktor ut 11x i den første og -2 i den andre gruppen.

$$11x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-2 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-2\right)\left(11x-2\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-2=0 og 11x-2=0.

$$x=2 x=\frac{2}{11}$$

Erstatt \frac{2}{11} med x i ligningen \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}. Uttrykket \sqrt{5\times \frac{2}{11}-1} er ikke definert fordi radikand ikke kan være negativ.

$$\sqrt{5\times \frac{2}{11}-1}-\sqrt{3\times \frac{2}{11}-2}=\sqrt{\frac{2}{11}-1}$$

Erstatt 2 med x i ligningen \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}.

$$\sqrt{5\times 2-1}-\sqrt{3\times 2-2}=\sqrt{2-1}$$

Forenkle. Verdien x=2 tilfredsstiller ligningen.

$$1=1$$

Ligningen \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} har en unik løsning.

$$x=2$$