Løs sqrt{3x+1}-sqrt{2x-1}=1

$$\sqrt { 3 x + 1 } - \sqrt { 2 x - 1 } = 1$$

Løs for x

$$x=5$$

$$x=1$$

Løsningstrinn

Trekk fra -\sqrt{2x-1} fra begge sider av ligningen.

$$\sqrt{3x+1}=1+\sqrt{2x-1}$$

Kvadrer begge sider av ligningen.

$$\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{3x+1} opphøyd i 2 og få 3x+1.

$$3x+1=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{2x-1} opphøyd i 2 og få 2x-1.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+2x-1$$

Trekk fra 1 fra 1 for å få 0.

$$3x+1=2\sqrt{2x-1}+2x$$

Trekk fra 2x fra begge sider av ligningen.

$$3x+1-2x=2\sqrt{2x-1}$$

Kombiner 3x og -2x for å få x.

$$x+1=2\sqrt{2x-1}$$

Kvadrer begge sider av ligningen.

$$\left(x+1\right)^{2}=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Utvid \left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=2^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Regn ut 2 opphøyd i 2 og få 4.

$$x^{2}+2x+1=4\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{2x-1} opphøyd i 2 og få 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=4\left(2x-1\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 4 med 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=8x-4$$

Trekk fra 8x fra begge sider.

$$x^{2}+2x+1-8x=-4$$

Kombiner 2x og -8x for å få -6x.

$$x^{2}-6x+1=-4$$

Legg til 4 på begge sider.

$$x^{2}-6x+1+4=0$$

Legg sammen 1 og 4 for å få 5.

$$x^{2}-6x+5=0$$

Hvis du vil løse formelen, faktor x^{2}-6x+5 å bruke formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-6 ab=5$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Det eneste paret er system løsningen.

$$a=-5 b=-1$$

Skriv om det faktoriserte uttrykket \left(x+a\right)\left(x+b\right) ved hjelp av de oppnådde verdiene.

$$\left(x-5\right)\left(x-1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-5=0 og x-1=0.

$$x=5 x=1$$

Erstatt 5 med x i ligningen \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 5+1}-\sqrt{2\times 5-1}=1$$

Forenkle. Verdien x=5 tilfredsstiller ligningen.

$$1=1$$

Erstatt 1 med x i ligningen \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 1+1}-\sqrt{2\times 1-1}=1$$

Forenkle. Verdien x=1 tilfredsstiller ligningen.

$$1=1$$

Vis alle løsninger på \sqrt{3x+1}=\sqrt{2x-1}+1.

$$x=5 x=1$$