Løs sqrt{2x+7}-3x+1=x-1

$$\sqrt { 2 x + 7 } - 3 x + 1 = x - 1$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{129} + 9}{16} \approx 1,272363543$$

Løsningstrinn

Trekk fra -3x+1 fra begge sider av ligningen.

$$\sqrt{2x+7}=x-1-\left(-3x+1\right)$$

Du finner den motsatte av -3x+1 ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$\sqrt{2x+7}=x-1-\left(-3x\right)-1$$

Det motsatte av -3x er 3x.

$$\sqrt{2x+7}=x-1+3x-1$$

Kombiner x og 3x for å få 4x.

$$\sqrt{2x+7}=4x-1-1$$

Trekk fra 1 fra -1 for å få -2.

$$\sqrt{2x+7}=4x-2$$

Kvadrer begge sider av ligningen.

$$\left(\sqrt{2x+7}\right)^{2}=\left(4x-2\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{2x+7} opphøyd i 2 og få 2x+7.

$$2x+7=\left(4x-2\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(4x-2\right)^{2}.

$$2x+7=16x^{2}-16x+4$$

Trekk fra 16x^{2} fra begge sider.

$$2x+7-16x^{2}=-16x+4$$

Legg til 16x på begge sider.

$$2x+7-16x^{2}+16x=4$$

Kombiner 2x og 16x for å få 18x.

$$18x+7-16x^{2}=4$$

Trekk fra 4 fra begge sider.

$$18x+7-16x^{2}-4=0$$

Trekk fra 4 fra 7 for å få 3.

$$18x+3-16x^{2}=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-16x^{2}+18x+3=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -16 for a, 18 for b og 3 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-16\right)\times 3}}{2\left(-16\right)}$$

Kvadrer 18.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-16\right)\times 3}}{2\left(-16\right)}$$

Multipliser -4 ganger -16.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+64\times 3}}{2\left(-16\right)}$$

Multipliser 64 ganger 3.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+192}}{2\left(-16\right)}$$

Legg sammen 324 og 192.

$$x=\frac{-18±\sqrt{516}}{2\left(-16\right)}$$

Ta kvadratroten av 516.

$$x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{2\left(-16\right)}$$

Multipliser 2 ganger -16.

$$x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{-32}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{-32} når ± er pluss. Legg sammen -18 og 2\sqrt{129}.

$$x=\frac{2\sqrt{129}-18}{-32}$$

Del -18+2\sqrt{129} på -32.

$$x=\frac{9-\sqrt{129}}{16}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{-32} når ± er minus. Trekk fra 2\sqrt{129} fra -18.

$$x=\frac{-2\sqrt{129}-18}{-32}$$

Del -18-2\sqrt{129} på -32.

$$x=\frac{\sqrt{129}+9}{16}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{9-\sqrt{129}}{16} x=\frac{\sqrt{129}+9}{16}$$

Erstatt \frac{9-\sqrt{129}}{16} med x i ligningen \sqrt{2x+7}-3x+1=x-1.

$$\sqrt{2\times \frac{9-\sqrt{129}}{16}+7}-3\times \frac{9-\sqrt{129}}{16}+1=\frac{9-\sqrt{129}}{16}-1$$

Forenkle. Verdien x=\frac{9-\sqrt{129}}{16} oppfyller ikke formelen fordi venstre og høyre side har motsatte tegn.

$$-\frac{15}{16}+\frac{7}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}=-\frac{7}{16}-\frac{1}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}$$

Erstatt \frac{\sqrt{129}+9}{16} med x i ligningen \sqrt{2x+7}-3x+1=x-1.

$$\sqrt{2\times \frac{\sqrt{129}+9}{16}+7}-3\times \frac{\sqrt{129}+9}{16}+1=\frac{\sqrt{129}+9}{16}-1$$

Forenkle. Verdien x=\frac{\sqrt{129}+9}{16} tilfredsstiller ligningen.

$$-\frac{7}{16}+\frac{1}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}-\frac{7}{16}$$

Ligningen \sqrt{2x+7}=4x-2 har en unik løsning.

$$x=\frac{\sqrt{129}+9}{16}$$