Løs sqrt{2-x}=x-1

$$\sqrt { 2 - x } = x - 1$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

Løsningstrinn

Kvadrer begge sider av ligningen.

$$\left(\sqrt{2-x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{2-x} opphøyd i 2 og få 2-x.

$$2-x=\left(x-1\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(x-1\right)^{2}.

$$2-x=x^{2}-2x+1$$

Trekk fra x^{2} fra begge sider.

$$2-x-x^{2}=-2x+1$$

Legg til 2x på begge sider.

$$2-x-x^{2}+2x=1$$

Kombiner -x og 2x for å få x.

$$2+x-x^{2}=1$$

Trekk fra 1 fra begge sider.

$$2+x-x^{2}-1=0$$

Trekk fra 1 fra 2 for å få 1.

$$1+x-x^{2}=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-x^{2}+x+1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -1 for a, 1 for b og 1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrer 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser -4 ganger -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Legg sammen 1 og 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 2 ganger -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} når ± er pluss. Legg sammen -1 og \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

Del -1+\sqrt{5} på -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} når ± er minus. Trekk fra \sqrt{5} fra -1.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

Del -1-\sqrt{5} på -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Erstatt \frac{1-\sqrt{5}}{2} med x i ligningen \sqrt{2-x}=x-1.

$$\sqrt{2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}-1$$

Forenkle. Verdien x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} oppfyller ikke formelen fordi venstre og høyre side har motsatte tegn.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Erstatt \frac{\sqrt{5}+1}{2} med x i ligningen \sqrt{2-x}=x-1.

$$\sqrt{2-\frac{\sqrt{5}+1}{2}}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}-1$$

Forenkle. Verdien x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} tilfredsstiller ligningen.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}$$

Ligningen \sqrt{2-x}=x-1 har en unik løsning.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$