Løs sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2}=sqrt{(x-(-2))^2+(y-4)^2}

$$\sqrt { ( x - 2 ) ^ { 2 } + ( y - 2 ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( x - ( - 2 ) ) ^ { 2 } + ( y - 4 ) ^ { 2 } }$$

Løs for x

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Løsningstrinn

Kvadrer begge sider av ligningen.

$$\left(\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(x-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(y-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}-4y+4}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Legg sammen 4 og 4 for å få 8.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y} opphøyd i 2 og få x^{2}-4x+8+y^{2}-4y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Det motsatte av -2 er 2.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x+2\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(y-4\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+y^{2}-8y+16}\right)^{2}$$

Legg sammen 4 og 16 for å få 20.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y} opphøyd i 2 og få x^{2}+4x+20+y^{2}-8y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=x^{2}+4x+20+y^{2}-8y$$

Trekk fra x^{2} fra begge sider.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y-x^{2}=4x+20+y^{2}-8y$$

Kombiner x^{2} og -x^{2} for å få 0.

$$-4x+8+y^{2}-4y=4x+20+y^{2}-8y$$

Trekk fra 4x fra begge sider.

$$-4x+8+y^{2}-4y-4x=20+y^{2}-8y$$

Kombiner -4x og -4x for å få -8x.

$$-8x+8+y^{2}-4y=20+y^{2}-8y$$

Trekk fra 8 fra begge sider.

$$-8x+y^{2}-4y=20+y^{2}-8y-8$$

Trekk fra 8 fra 20 for å få 12.

$$-8x+y^{2}-4y=12+y^{2}-8y$$

Trekk fra y^{2} fra begge sider.

$$-8x-4y=12+y^{2}-8y-y^{2}$$

Kombiner y^{2} og -y^{2} for å få 0.

$$-8x-4y=12-8y$$

Legg til 4y på begge sider.

$$-8x=12-8y+4y$$

Kombiner -8y og 4y for å få -4y.

$$-8x=12-4y$$

Del begge sidene på -8.

$$\frac{-8x}{-8}=\frac{12-4y}{-8}$$

Hvis du deler på -8, gjør du om gangingen med -8.

$$x=\frac{12-4y}{-8}$$

Del 12-4y på -8.

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Erstatt \frac{y-3}{2} med x i ligningen \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(\frac{y-3}{2}-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(\frac{y-3}{2}-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}$$

Forenkle. Verdien x=\frac{y-3}{2} tilfredsstiller ligningen.

$$\frac{1}{2}\left(65-30y+5y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\left(65-30y+5y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Ligningen \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(y-4\right)^{2}+\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}} har en unik løsning.

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Løs for y

$$y=2x+3$$

Løsningstrinn

Kvadrer begge sider av ligningen.

$$\left(\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(x-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(y-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}-4y+4}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Legg sammen 4 og 4 for å få 8.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y} opphøyd i 2 og få x^{2}-4x+8+y^{2}-4y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Det motsatte av -2 er 2.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x+2\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til å utvide \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(y-4\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+y^{2}-8y+16}\right)^{2}$$

Legg sammen 4 og 16 for å få 20.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y} opphøyd i 2 og få x^{2}+4x+20+y^{2}-8y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=x^{2}+4x+20+y^{2}-8y$$

Trekk fra y^{2} fra begge sider.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y-y^{2}=x^{2}+4x+20-8y$$

Kombiner y^{2} og -y^{2} for å få 0.

$$x^{2}-4x+8-4y=x^{2}+4x+20-8y$$

Legg til 8y på begge sider.

$$x^{2}-4x+8-4y+8y=x^{2}+4x+20$$

Kombiner -4y og 8y for å få 4y.

$$x^{2}-4x+8+4y=x^{2}+4x+20$$

Trekk fra x^{2} fra begge sider.

$$-4x+8+4y=x^{2}+4x+20-x^{2}$$

Kombiner x^{2} og -x^{2} for å få 0.

$$-4x+8+4y=4x+20$$

Legg til 4x på begge sider.

$$8+4y=4x+20+4x$$

Kombiner 4x og 4x for å få 8x.

$$8+4y=8x+20$$

Trekk fra 8 fra begge sider.

$$4y=8x+20-8$$

Trekk fra 8 fra 20 for å få 12.

$$4y=8x+12$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4y}{4}=\frac{8x+12}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$y=\frac{8x+12}{4}$$

Del 8x+12 på 4.

$$y=2x+3$$

Erstatt 2x+3 med y i ligningen \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(2x+3-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(2x+3-4\right)^{2}}$$

Forenkle. Verdien y=2x+3 tilfredsstiller ligningen.

$$\left(5+5x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(5+5x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Ligningen \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(y-4\right)^{2}+\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}} har en unik løsning.

$$y=2x+3$$